กฎหมายของมอร์แกน

ดวงตาของมอร์แกน เป็นกฎของการอนุมานที่ใช้ในตรรกะเชิงประพจน์ซึ่งกำหนดสิ่งที่เป็นผลมาจากการปฏิเสธความแตกแยกและการรวมกันของข้อเสนอหรือตัวแปรเชิงประพจน์ กฎเหล่านี้ถูกกำหนดโดยนักคณิตศาสตร์ออกัสตัสเดอมอร์แกน

กฎหมายของมอร์แกนเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์มากในการแสดงเหตุผลทางคณิตศาสตร์ ต่อมาพวกเขาถูกวางนัยในแนวคิดของเซตโดยนักคณิตศาสตร์ George Boole

ความเห็นโดยทั่วไปของ Boole นี้เทียบเท่ากับกฎหมายเริ่มต้นของมอร์แกนอย่างสมบูรณ์ แต่ได้รับการพัฒนาโดยเฉพาะสำหรับฉากแทนที่จะเป็นข้อเสนอ ลักษณะทั่วไปนี้เป็นที่รู้จักกันว่ากฎหมายของมอร์แกน

ทบทวนตรรกะเชิงประพจน์

ก่อนที่จะดูว่ากฎหมายของมอร์แกนมีความเฉพาะเจาะจงอย่างไรและมีการนำไปใช้อย่างไรจะสะดวกในการจดจำแนวคิดพื้นฐานของตรรกะเชิงประพจน์ (สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมดูบทความเกี่ยวกับตรรกะเชิงประพจน์)

ในด้านของตรรกะทางคณิตศาสตร์ (หรือเชิงประพจน์) การอนุมานเป็นข้อสรุปที่ถูกปล่อยออกมาจากชุดของสถานที่หรือสมมติฐาน ข้อสรุปนี้พร้อมกับสถานที่ดังกล่าวก่อให้เกิดสิ่งที่เรียกว่าการใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์

เหตุผลนี้จะต้องสามารถแสดงให้เห็นหรือปฏิเสธ; กล่าวได้ว่าการอนุมานหรือข้อสรุปทั้งหมดในการใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์นั้นไม่ถูกต้องทั้งหมด

การเข้าใจผิด

การอนุมานเท็จที่ปล่อยออกมาจากข้อสันนิษฐานบางอย่างที่ถือว่าเป็นจริงเรียกได้ว่าเป็นการเข้าใจผิด การชักนำให้เกิดความผิดปกติมีลักษณะของการขัดแย้งที่ดูเหมือนถูกต้อง แต่ในทางคณิตศาสตร์พวกเขาไม่ได้

ตรรกะเชิงประพจน์มีหน้าที่รับผิดชอบในการพัฒนาและจัดหาวิธีการอย่างแม่นยำโดยใช้วิธีการที่สามารถทำได้โดยไม่ต้องมีความกำกวมตรวจสอบหรือหักล้างเหตุผลทางคณิตศาสตร์ นั่นคือสรุปข้อสรุปที่ถูกต้องจากสถานที่ วิธีการเหล่านี้รู้จักกันในชื่อกฎการอนุมานซึ่งกฎของมอร์แกนเป็นส่วนหนึ่ง

ข้อเสนอ

องค์ประกอบที่สำคัญของตรรกะเชิงประพจน์คือข้อเสนอ ข้อเสนอคือข้อความที่ว่าใครสามารถพูดได้ว่าถูกต้องหรือไม่ แต่พวกเขาไม่สามารถเป็นจริงหรือเท็จในเวลาเดียวกัน ไม่ควรมีความกำกวมในเรื่องนี้

เช่นเดียวกับที่ตัวเลขสามารถรวมกันได้ผ่านการดำเนินการของการบวกการลบการคูณและการหารข้อเสนอสามารถดำเนินการได้โดยใช้วิธีการเชื่อมต่อที่รู้จัก (หรือตัวเชื่อมต่อ) ตรรกะ: การปฏิเสธ (, "ไม่"), "O"), joint (Ʌ, "และ"), conditional (→, "if ..., then ... ") และ biconditional (↔, "ใช่และเฉพาะถ้า")

ในการทำงานโดยทั่วไปแทนที่จะพิจารณาข้อเสนอที่เฉพาะเจาะจงเราพิจารณาตัวแปรเชิงประพจน์ที่แสดงถึงข้อเสนอใด ๆ และมักจะแสดงเป็นตัวอักษรตัวเล็ก p, q, r, s เป็นต้น

สูตรเชิงประพจน์คือการรวมกันของตัวแปรเชิงประพจน์ผ่านการเชื่อมต่อแบบลอจิคัลบางส่วน มันคือองค์ประกอบของตัวแปรเชิงประพจน์ พวกเขามักจะเขียนด้วยตัวอักษรกรีก

มันบอกว่าสูตรแคลคูลัสเชิงประพจน์มีความหมายอื่น ๆ เมื่อมันเป็นจริงในแต่ละครั้งที่เป็นจริง นี่คือ:

เมื่อความหมายเชิงตรรกะระหว่างสองสูตรเชิงประพจน์คือซึ่งกันและกัน - นั่นคือเมื่อการอนุมานก่อนหน้านี้ถูกต้องเช่นกันในทิศทางตรงกันข้าม - สูตรดังกล่าวมีความหมายเชิงตรรกะเทียบเท่ากันและแสดงแทนด้วย

ตรรกะความเท่าเทียมกันเป็นประเภทของความเท่าเทียมกันระหว่างแคลคูลัสเชิงประพจน์และอนุญาตให้หนึ่งแทนที่ด้วยอื่น ๆ เมื่อมีความจำเป็น

กฎหมายของมอร์แกน

กฎของมอร์แกนประกอบด้วยสองเหตุผลเชิงตรรกะระหว่างสองรูปแบบเชิงประพจน์คือ:

กฎหมายเหล่านี้อนุญาตให้แยกการปฏิเสธของการแยกหรือการรวมเป็นการปฏิเสธของตัวแปรที่เกี่ยวข้อง

ครั้งแรกที่สามารถอ่านได้ดังต่อไปนี้: การปฏิเสธของการแยกจะเท่ากับการรวมกันของการปฏิเสธ และอันที่สองอ่านเช่นนี้: การปฏิเสธของการรวมเป็นการแยกการปฏิเสธ

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือการปฏิเสธการแยกของสองตัวแปรเชิงประพจน์นั้นเทียบเท่ากับการรวมกันของการปฏิเสธของตัวแปรทั้งสอง ในทำนองเดียวกันการปฏิเสธการรวมกันของสองตัวแปรเชิงประพจน์จะเทียบเท่ากับการแยกความสัมพันธ์ของการปฏิเสธของตัวแปรทั้งสอง

ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้าการทดแทนความเท่าเทียมทางตรรกะนี้ช่วยแสดงผลลัพธ์ที่สำคัญพร้อมกับกฎการอนุมานอื่น ๆ ที่มีอยู่ ด้วยสิ่งเหล่านี้คุณสามารถลดความซับซ้อนของสูตรแคลคูลัสเชิงประพจน์เพื่อให้มีประโยชน์มากขึ้นในการทำงานกับ

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์โดยใช้กฎการอนุมานภายใต้กฎของมอร์แกนเหล่านี้ โดยเฉพาะมันแสดงให้เห็นว่าสูตร:

เทียบเท่ากับ:

หลังเป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจและพัฒนา

แสดง

เป็นมูลค่าการกล่าวขวัญว่ากฎหมายของมอร์แกนสามารถพิสูจน์ได้ทางคณิตศาสตร์ วิธีหนึ่งคือการเปรียบเทียบตารางความจริงของคุณ

ชุด

กฎการอนุมานแบบเดียวกันและแนวคิดของตรรกะที่ใช้กับข้อเสนอยังสามารถพัฒนาได้ด้วยการพิจารณาชุด นี่คือสิ่งที่เรียกว่าพีชคณิตแบบบูลหลังจากนักคณิตศาสตร์จอร์จบูล

เพื่อแยกความแตกต่างของกรณีมีความจำเป็นต้องเปลี่ยนสัญกรณ์และถ่ายโอนไปยังชุดความคิดทั้งหมดที่เห็นแล้วของตรรกะเชิงประพจน์

ชุดคือชุดของวัตถุ ชุดจะแสดงด้วยตัวอักษรใหญ่ A, B, C, X, ... และองค์ประกอบของชุดจะแสดงโดยตัวอักษรพิมพ์เล็ก a, b, c, x, ฯลฯ เมื่อองค์ประกอบหนึ่งเป็นของชุด X มันจะถูกแทนด้วย:

เมื่อมันไม่ได้เป็นของ X สัญกรณ์คือ:

วิธีในการแสดงชุดคือการวางองค์ประกอบไว้ในกุญแจ ตัวอย่างเช่นชุดของตัวเลขธรรมชาติแสดงโดย:

ชุดสามารถแสดงโดยไม่ต้องเขียนรายการที่ชัดเจนขององค์ประกอบของพวกเขา สามารถแสดงในรูปแบบ {:} จุดสองจุดถูกอ่าน "แบบนั้น" ตัวแปรที่แสดงองค์ประกอบของชุดนั้นจะอยู่ทางด้านซ้ายของจุดสองจุดและคุณสมบัติหรือเงื่อนไขที่พวกเขาพึงพอใจนั้นจะถูกวางไว้ทางด้านขวา นี่คือ:

ตัวอย่างเช่นชุดของจำนวนเต็มมากกว่า -4 สามารถแสดงเป็น:

หรือเทียบเท่าและตัวย่ออื่น ๆ เช่น:

ในทำนองเดียวกันนิพจน์ต่อไปนี้แสดงชุดของจำนวนคู่และคี่ตามลำดับ:

ยูเนี่ยน, ทางแยกและการเติมเต็มของเซต

ต่อไปเราจะเห็น analogs ของการเชื่อมต่อแบบลอจิคัลในกรณีของชุดซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการดำเนินงานขั้นพื้นฐานระหว่างชุด

ยูเนี่ยนและทางแยก

การรวมกันและจุดตัดของเซตถูกกำหนดไว้ตามลำดับด้วยวิธีดังต่อไปนี้:

ตัวอย่างเช่นพิจารณาชุด:

จากนั้นคุณต้อง:

ส่วนประกอบ

ส่วนประกอบของชุดประกอบด้วยส่วนประกอบที่ไม่ได้เป็นของชุดนั้น (ชนิดเดียวกับที่ชุดเดิมแสดง) ความสมบูรณ์ของเซต A แสดงโดย:

ตัวอย่างเช่นภายในตัวเลขธรรมชาติการเติมเต็มของชุดตัวเลขแม้จะเป็นตัวเลขคี่และในทางกลับกัน

ในการกำหนดส่วนประกอบของชุดจะต้องชัดเจนตั้งแต่ต้นชุดองค์ประกอบสากลหรือชุดหลักที่กำลังพิจารณา ตัวอย่างเช่นมันไม่เท่ากับการพิจารณาส่วนประกอบของเซตตามจำนวนธรรมชาติที่อยู่บนจำนวนตรรกยะ

ตารางต่อไปนี้แสดงความสัมพันธ์หรือการเปรียบเทียบที่มีอยู่ระหว่างการดำเนินการในชุดที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้และการเชื่อมต่อของตรรกะเชิงประพจน์:

กฎของมอร์แกนสำหรับฉาก

ในที่สุดกฎของมอร์แกนในเซตคือ:

ในคำพูด: การรวมกันของสหภาพเป็นจุดตัดของการเติมเต็มและการเติมเต็มของการแยกคือการรวมกันของการเติมเต็ม

หลักฐานทางคณิตศาสตร์ของความเสมอภาคแรกจะเป็นดังนี้:

การสาธิตครั้งที่สองนั้นคล้ายคลึงกัน