Tales of Miletus Theorem: ลำดับที่หนึ่งสองและตัวอย่าง

ทฤษฎีบท ที่หนึ่งและที่สอง ของ Tales of Miletus ตั้งอยู่บนพื้นฐานของการหารูปสามเหลี่ยมจากทฤษฎีบทแรกอื่น ๆ ที่คล้ายคลึงกันหรือเส้นรอบวง (ทฤษฎีบทที่สอง) พวกมันมีประโยชน์มากในด้านต่าง ๆ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทแรกพิสูจน์ได้ว่ามีประโยชน์มากสำหรับการวัดโครงสร้างขนาดใหญ่เมื่อไม่มีเครื่องมือวัดที่มีความซับซ้อน

Thales of Miletus เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกที่ให้ความช่วยเหลืออย่างมากกับรูปทรงเรขาคณิตซึ่งทั้งสองทฤษฎีนี้โดดเด่น (ในบางตำราพวกเขายังเขียนมันเป็น Thales) และการใช้งานที่เป็นประโยชน์ของพวกเขา ผลลัพธ์เหล่านี้ถูกนำมาใช้ตลอดประวัติศาสตร์และอนุญาตให้แก้ไขปัญหาทางเรขาคณิตที่หลากหลาย

ทฤษฎีบทแรกของนิทาน

ทฤษฏีแรกของ Tales เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์มากซึ่งช่วยให้สามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมคล้ายกับอีกรูปแบบหนึ่งที่รู้จักกันก่อนหน้านี้ จากนี้เป็นรุ่นต่าง ๆ ของทฤษฎีบทที่สามารถนำไปใช้ในหลายบริบท

ก่อนที่จะให้ถ้อยคำของคุณจำความคิดบางอย่างที่มีความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม โดยพื้นฐานแล้วสามเหลี่ยมสองรูปนั้นคล้ายกันถ้ามุมของพวกมันสมภาคกัน (มีขนาดเท่ากัน) สิ่งนี้ก่อให้เกิดความจริงที่ว่าถ้าสามเหลี่ยมสองรูปมีความคล้ายคลึงกันด้านที่สอดคล้องกันของพวกเขา (หรือ homologs) เป็นสัดส่วน

ทฤษฎีบทแรกของ Thales ระบุว่าหากในรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดให้มีเส้นตรงลากขนานกับด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมใหม่ที่ได้รับจะคล้ายกับรูปสามเหลี่ยมเริ่มต้น

คุณยังได้รับความสัมพันธ์ระหว่างมุมที่เกิดขึ้นดังที่เห็นในรูปต่อไปนี้

ใบสมัคร

แอพพลิเคชั่นที่หลากหลายนั้นมีความน่าสนใจอย่างหนึ่งและเกี่ยวข้องกับวิธีการหนึ่งในการวัดที่ทำจากโครงสร้างขนาดใหญ่ในสมัยโบราณเวลาที่ Thales อาศัยอยู่และไม่มีเครื่องมือวัดที่ทันสมัย พวกเขามีอยู่ตอนนี้

ว่ากันว่านี่เป็นวิธีที่ Thales สามารถวัดพีระมิดที่สูงที่สุดในอียิปต์ได้ สำหรับเรื่องนี้วส์ควรที่การสะท้อนของรังสีดวงอาทิตย์แตะพื้นเป็นเส้นขนาน ภายใต้สมมติฐานนี้เขาติดแท่งหรืออ้อยในแนวตั้งกับพื้น

จากนั้นเขาก็ใช้ความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมทั้งสองที่เกิดขึ้นโดยหนึ่งเกิดจากความยาวของเงาของปิรามิด (ซึ่งสามารถคำนวณได้ง่าย) และความสูงของปิรามิด (ไม่ทราบ) และอื่น ๆ ที่เกิดขึ้นตามความยาวของเงา และความสูงของแกน (ซึ่งสามารถคำนวณได้ง่าย)

โดยใช้สัดส่วนระหว่างความยาวเหล่านี้คุณสามารถล้างและรู้ความสูงของปิรามิด

แม้ว่าวิธีการวัดนี้จะทำให้เกิดข้อผิดพลาดอย่างมีนัยสำคัญในการประมาณด้วยความแม่นยำของความสูงและขึ้นอยู่กับการขนานของรังสีของดวงอาทิตย์ (ซึ่งขึ้นอยู่กับเวลาที่แน่นอน) เราต้องตระหนักว่ามันเป็นความคิดที่ฉลาดมาก และนั่นเป็นทางเลือกที่ดีสำหรับการวัดในเวลานั้น

ตัวอย่าง

ค้นหาค่าของ x ในแต่ละกรณี:

ทางออก

ที่นี่เรามีสองเส้นตัดโดยสองขนาน โดยทฤษฎีบทแรกของ Thales มีหนึ่งด้านที่เกี่ยวข้องเป็นสัดส่วน โดยเฉพาะ:

ทางออก

ที่นี่เรามีสามเหลี่ยมสองรูปหนึ่งอันนี้เกิดขึ้นจากส่วนที่ขนานกับด้านใดด้านหนึ่งของอีกด้านหนึ่ง (อย่างแม่นยำด้านยาว x) ตามทฤษฎีบทแรกของ Tales คุณต้อง:

ทฤษฎีบทที่สองของนิทาน

ทฤษฎีบทที่สองของ Thales กำหนดสามเหลี่ยมมุมฉากที่ถูกจารึกไว้กับเส้นรอบวงในแต่ละจุดที่เหมือนกัน

รูปสามเหลี่ยมที่ถูกจารึกไว้ที่เส้นรอบวงคือรูปสามเหลี่ยมที่จุดยอดอยู่บนเส้นรอบวงจึงบรรจุอยู่ในสิ่งนี้

โดยเฉพาะทฤษฎีบทที่สองของ Thales ระบุดังต่อไปนี้: ให้วงกลมศูนย์กลาง O และเส้นผ่านศูนย์กลาง AC แต่ละจุด B ของเส้นรอบวง (นอกเหนือจาก A และ C) กำหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ทางขวาด้วยมุมฉาก

โดยวิธีการให้เหตุผลโปรดทราบว่าทั้ง OA และ OB และ OC สอดคล้องกับรัศมีของเส้นรอบวง ดังนั้นการวัดของพวกเขาเหมือนกัน จากนั้นจะได้รับว่าสามเหลี่ยม OAB และ OCB เป็นหน้าจั่วที่ไหน

เป็นที่ทราบกันว่าผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเท่ากับ180º การใช้สิ่งนี้กับ ABC ABC คุณต้อง:

2b + 2a = 180º

เรามี b + a = 90ºและ b + a =

โปรดสังเกตว่าสามเหลี่ยมมุมฉากที่จัดทำโดยทฤษฎีบทที่สองของ Thales นั้นแน่นอนว่าด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับเส้นผ่าศูนย์กลางของเส้นรอบวง ดังนั้นจะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยครึ่งวงกลมที่มีจุดของรูปสามเหลี่ยม; ในกรณีนี้ครึ่งวงกลมบน

โปรดสังเกตว่าในสามเหลี่ยมมุมฉากที่ได้จากทฤษฏีบทที่สองของ Thales, ด้านตรงข้ามมุมฉากแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่ากันโดย OA และ OC (รัศมี) ในทางกลับกันการวัดนี้จะเท่ากับส่วน OB (เช่นรัศมี) ซึ่งสอดคล้องกับค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยม ABC โดย B

กล่าวอีกนัยหนึ่งความยาวของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่ตรงกับจุดยอด B นั้นถูกกำหนดโดยครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก จงจำไว้ว่าค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนจากจุดยอดหนึ่งไปยังจุดกึ่งกลางของฝั่งตรงข้าม; ในกรณีนี้ส่วน BO

เส้นรอบวงรอบ

อีกวิธีหนึ่งในการดูทฤษฏีที่สองของ Thales คือผ่านวงกลมที่ล้อมรอบไปยังสามเหลี่ยมมุมฉาก

โดยทั่วไปวงกลมที่ถูกล้อมรอบไปยังรูปหลายเหลี่ยมนั้นประกอบด้วยเส้นรอบวงที่ผ่านจุดยอดแต่ละจุดเมื่อใดก็ตามที่เป็นไปได้ที่จะติดตามมัน

การใช้ทฤษฎีบทที่สองของ Thales ให้สามเหลี่ยมมุมฉากเราสามารถสร้างวงกลมล้อมรอบนี้ด้วยรัศมีเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉากและ circumcenter (ศูนย์กลางของเส้นรอบวง) เท่ากับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉาก

ใบสมัคร

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทที่สองของ Thales และอาจใช้มากที่สุดคือการหาเส้นสัมผัสที่เส้นรอบวงที่กำหนดโดยจุด P ที่อยู่ภายนอกกับสิ่งนี้

สังเกตว่ามีเส้นรอบวง (วาดเป็นสีน้ำเงินในภาพด้านล่าง) และจุดภายนอก P มีเส้นสัมผัสสองเส้นที่ผ่านเส้นรอบวงที่ผ่าน P. ให้ T และ T 'เป็นจุดแทนเจนต์, รัศมีของเส้นรอบวงและ หรือตรงกลาง

เป็นที่ทราบกันว่าส่วนที่เปลี่ยนจากจุดศูนย์กลางของวงกลมไปยังจุดสัมผัสของมันจะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสนี้ จากนั้นมุม OTP จะตรง

จากสิ่งที่เราเห็นก่อนหน้านี้ในทฤษฎีบทแรกของ Thales และเวอร์ชันที่แตกต่างกันเราจะเห็นว่าเป็นไปได้ที่จะจารึกสามเหลี่ยม OTP ในขอบเขตอื่น (สีแดง)

ในทำนองเดียวกันจะได้รับที่สามเหลี่ยม OT'P สามารถถูกจารึกไว้ภายในเส้นรอบวงก่อนหน้าเดียวกัน

ตามทฤษฎีบทที่สองของ Thales เรายังได้รับว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของเส้นรอบวงใหม่นี้คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม OTP (ซึ่งเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม OT'P) และจุดศูนย์กลางคือจุดกึ่งกลางของด้านนี้

ในการคำนวณจุดกึ่งกลางของเส้นรอบวงใหม่ก็เพียงพอแล้วที่จะคำนวณจุดกึ่งกลางระหว่างจุดกึ่งกลาง - พูด M - ของเส้นรอบวงเริ่มต้น (ซึ่งเราทราบแล้ว) และจุด P (ซึ่งเรารู้ด้วย) จากนั้นรัศมีจะเป็นระยะทางระหว่างจุดนี้ M และ P

ด้วยรัศมีและจุดศูนย์กลางของวงกลมสีแดงเราสามารถหาสมการคาร์ทีเซียนซึ่งเราจำได้คือ (xh) 2 + (yk) 2 = c2 โดยที่ c คือรัศมีและจุด (h, k) คือ ศูนย์กลางของเส้นรอบวง

เมื่อรู้สมการของเส้นรอบวงทั้งสองแล้วเราสามารถตัดกันมันด้วยการแก้ระบบสมการที่เกิดขึ้นจากสิ่งเหล่านี้และได้รับคะแนนแทนเจนต์ T และ T ' ในที่สุดเมื่อต้องการทราบเส้นสัมผัสที่ต้องการก็พอที่จะหาสมการของเส้นที่ผ่าน T และ P และโดย T 'และ P

ตัวอย่าง

พิจารณาเส้นรอบวงของเส้นผ่าศูนย์กลาง AC, ศูนย์กลาง O และรัศมี 1 ซม. ให้ B เป็นจุดบนเส้นรอบวงเช่นนั้น AB = AC AB วัดได้เท่าไหร่

ทางออก

ตามทฤษฎีบทที่สองของ Thales เรามีว่าสามเหลี่ยม ABC เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าและด้านตรงข้ามมุมฉากตรงกับเส้นผ่านศูนย์กลางซึ่งในกรณีนี้มีขนาด 2 ซม. (รัศมีคือ 1 ซม.) จากนั้นตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสเราต้อง: