ระบบเลขฐานแปด: ประวัติระบบเลขและการแปลง

ระบบฐานแปด เป็น ระบบ การนับตำแหน่งของฐานแปด (8); นั่นคือมันประกอบด้วยตัวเลขแปดหลัก ได้แก่ : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 ดังนั้นแต่ละหลักของตัวเลขฐานแปดสามารถมีค่าใด ๆ ตั้งแต่ 0 ถึง 7 ตัวเลขฐานแปด มันถูกสร้างขึ้นจากเลขฐานสอง

นี่เป็นเพราะฐานของมันคือพลังที่แน่นอนของสอง (2) นั่นคือตัวเลขที่เป็นของระบบเลขฐานแปดจะเกิดขึ้นเมื่อพวกเขาถูกจัดกลุ่มเป็นตัวเลขสามหลักติดต่อกันจัดเรียงจากขวาไปซ้ายรับในลักษณะนี้ค่าทศนิยมของพวกเขา

ประวัติศาสตร์

ระบบฐานแปดมีต้นกำเนิดในสมัยโบราณเมื่อผู้คนใช้มือนับสัตว์แปดถึงแปด

ตัวอย่างเช่นเพื่อนับจำนวนวัวในยุ้งฉางหนึ่งเริ่มนับในมือขวาเข้าร่วมนิ้วหัวแม่มือด้วยนิ้วก้อย; จากนั้นให้นับสัตว์ตัวที่สองนิ้วโป้งถูกรวมเข้ากับนิ้วชี้และอื่น ๆ ด้วยนิ้วมือที่เหลือของแต่ละมือจนกระทั่งเสร็จสิ้น 8

มีความเป็นไปได้ว่าในสมัยโบราณระบบเลขฐานแปดจะถูกใช้ก่อนหน้าทศนิยมเพื่อให้สามารถนับช่องว่าง interdigital; นั่นคือนับนิ้วทั้งหมดยกเว้นนิ้วหัวแม่มือ

ต่อจากนั้นระบบเลขฐานแปดได้ถูกสร้างขึ้นซึ่งมาจากระบบเลขฐานสองเพราะมันต้องการตัวเลขจำนวนมากเพื่อเป็นตัวแทนของตัวเลขเดียวเท่านั้น จากนั้นเป็นต้นมาระบบแปดเหลี่ยมและหกเหลี่ยมถูกสร้างขึ้นซึ่งไม่ต้องการตัวเลขจำนวนมากและสามารถแปลงเป็นระบบไบนารีได้อย่างง่ายดาย

ระบบเลขฐานแปด

ระบบเลขฐานแปดประกอบด้วยตัวเลขแปดหลักตั้งแต่ 0 ถึง 7 ค่าเหล่านี้มีค่าเหมือนกันในกรณีของระบบทศนิยม แต่ค่าสัมพัทธ์จะเปลี่ยนไปตามตำแหน่งที่พวกมันครอบครอง ค่าของแต่ละตำแหน่งจะได้รับจากฐานอำนาจ 8

ตำแหน่งของตัวเลขในจำนวนฐานแปดมีน้ำหนักดังต่อไปนี้:

84, 83, 82, 81, 80, จุดแปด, 8-1, 8-2, 8-3, 8-4, 8-5

เลขฐานแปดที่ใหญ่ที่สุดคือ 7; ด้วยวิธีนี้เมื่อระบบนี้ถูกนับตำแหน่งหนึ่งหลักจะเพิ่มขึ้นจาก 0 ถึง 7 เมื่อมันมาถึง 7 มันจะถูกรีไซเคิลเป็น 0 สำหรับการนับต่อไป วิธีการที่ตำแหน่งต่อไปของตัวเลขจะเพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่นในการนับลำดับในระบบฐานแปดจะเป็น:

  • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10
  • 53, 54, 55, 56, 57, 60
  • 375, 376, 377, 400

มีทฤษฎีบทพื้นฐานที่ใช้กับระบบฐานแปดและแสดงดังนี้

ในนิพจน์นี้ di หมายถึงตัวเลขที่คูณด้วยกำลังพื้นฐาน 8 ซึ่งระบุค่าตำแหน่งของแต่ละหลักในแบบเดียวกับที่สั่งในระบบเลขฐานสิบ

ตัวอย่างเช่นคุณมีหมายเลข 543.2 เพื่อนำไปใช้กับระบบฐานแปดมันจะถูกจำแนกตามวิธีต่อไปนี้:

N = Σ [(5 * 82) + (4 * 81) + (3 * 80) + (2 * 8-1)] = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + ( 2 * 0.125)

N = 320 +32 + 2 + 0.25 = 354 + 0.25 d

ด้วยวิธีนี้คุณมี 543.2 q = 354.25 d ตัวห้อย q บ่งบอกว่ามันเป็นเลขฐานแปดที่สามารถแทนด้วยเลข 8 ได้เช่นกัน และตัวห้อย d หมายถึงตัวเลขทศนิยมซึ่งสามารถแทนได้ด้วยหมายเลข 10

การแปลงระบบฐานแปดให้เป็นทศนิยม

ในการแปลงหมายเลขระบบฐานแปดให้เท่ากับในระบบเลขฐานสิบคุณจะต้องคูณแต่ละหลักฐานแปดด้วยค่าสถานที่โดยเริ่มจากทางขวา

ตัวอย่างที่ 1

732 8 = (7 * 82) + (3 * 81) + (2 * 80) = (7 * 64) + (3 * 8) + (2 * 1)

732 8 = 448 +24 +2

732 8 = 474 10

ตัวอย่างที่ 2

26.9 8 = (2 * 81) + (6 * 80) + (9 * 8-1) = (2 * 8) + (6 * 1) + (9 * 0.125)

26.9 8 = 16 + 6 + 1, 125

26.9 8 = 23, 125 10

การแปลงระบบทศนิยมให้เป็นฐานแปด

เลขจำนวนเต็มฐานสิบสามารถแปลงเป็นตัวเลขฐานแปดโดยใช้วิธีการหารซ้ำโดยที่จำนวนเต็มฐานสิบจะหารด้วย 8 จนกระทั่งหารหารเท่ากับ 0 และเศษเหลือของแต่ละส่วนจะแทนเลขฐานแปด

ของเสียจะถูกเรียงลำดับจากครั้งสุดท้ายไปก่อน นั่นคือสารตกค้างแรกจะเป็นเลขนัยสำคัญน้อยที่สุดของเลขฐานแปด ด้วยวิธีนี้ตัวเลขที่สำคัญที่สุดจะเป็นสารตกค้างสุดท้าย

ตัวอย่าง

เลขฐานแปดของเลขทศนิยม 266 10

- หารตัวเลขทศนิยม 266 ระหว่าง 8 = 266/8 = 33 + ส่วนที่เหลือเป็น 2

- จากนั้น 33 จะถูกหารด้วย 8 = 33/8 = 4 + กากของ 1

- หาร 4 ด้วย 8 = 4/8 = 0 + ส่วนที่เหลือ 4

เช่นเดียวกับส่วนสุดท้ายที่หารได้ผลน้อยกว่า 1 หมายความว่าได้รับผลลัพธ์แล้ว มีเพียงส่วนที่เหลือเท่านั้นที่จะต้องเรียงลำดับแบบย้อนกลับเพื่อให้เลขฐานแปดของ 266 ทศนิยมคือ 412 ตามที่เห็นในภาพต่อไปนี้:

การแปลงระบบฐานแปดให้เป็นไบนารี

การแปลงระบบฐานแปดให้เป็นไบนารีจะดำเนินการโดยการแปลงเลขฐานแปดให้เป็นเลขฐานสองที่เทียบเท่ากันซึ่งเกิดขึ้นจากสามหลัก มีตารางที่แสดงวิธีแปลงค่าตัวเลขแปดหลักที่เป็นไปได้:

จากการแปลงเหล่านี้คุณสามารถเปลี่ยนหมายเลขใด ๆ จากระบบฐานแปดไปเป็นไบนารี่ได้ตัวอย่างเช่นหากต้องการแปลงหมายเลข 572 โดยมีการค้นหาเทียบเท่า 8 รายการในตาราง ดังนั้นคุณต้อง:

5 8 = 101

7 8 = 111

2 8 = 10

ดังนั้น 572 8 จึง เทียบเท่าในระบบเลขฐานสองกับ 10111110

การแปลงระบบไบนารีเป็นฐานแปด

กระบวนการแปลงเลขจำนวนเต็มไบนารีเป็นจำนวนเต็มฐานแปดเป็นการดำเนินการแบบผกผันกับกระบวนการก่อนหน้า

นั่นคือบิตของเลขฐานสองจะถูกจัดกลุ่มเป็นสองกลุ่มสามบิตโดยเริ่มจากขวาไปซ้าย จากนั้นทำการแปลงไบนารีเป็นฐานแปดกับตารางก่อนหน้า

ในบางกรณีเลขฐานสองจะไม่มีกลุ่ม 3 บิต เมื่อต้องการทำให้เสร็จสมบูรณ์หนึ่งหรือสองศูนย์จะถูกเพิ่มทางด้านซ้ายของกลุ่มแรก

ตัวอย่างเช่นในการเปลี่ยนเลขฐานสอง 11010110 เป็นฐานแปดจะดำเนินการดังนี้:

- กลุ่มที่มี 3 บิตเริ่มต้นจากด้านขวา (บิตสุดท้าย):

11010110

- เนื่องจากกลุ่มแรกไม่สมบูรณ์จะมีการเพิ่มศูนย์ทางด้านซ้าย:

011010110

- การแปลงทำจากตาราง:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

ดังนั้นเลขฐานสอง 011010110 จึงเท่ากับ 326 8

การแปลงระบบฐานแปดให้เป็นเลขฐานสิบหกและในทางกลับกัน

ในการเปลี่ยนจากเลขฐานแปดเป็นระบบเลขฐานสิบหกหรือเปลี่ยนจากฐานสิบหกเป็นฐานแปดจำเป็นต้องมีการแปลงหมายเลขเป็นเลขฐานสองก่อนแล้วจึงเปลี่ยนเป็นระบบที่ต้องการ

สำหรับสิ่งนี้มีตารางที่แต่ละเลขฐานสิบหกหลักแสดงด้วยความเท่าเทียมกันในระบบเลขฐานสองซึ่งประกอบด้วยสี่หลัก

ในบางกรณีเลขฐานสองจะไม่มีกลุ่ม 4 บิต เพื่อให้สมบูรณ์ให้เพิ่มหนึ่งหรือสองศูนย์ทางด้านซ้ายของกลุ่มแรก

ตัวอย่าง

แปลงเลขฐานแปด 1646 ให้เป็นเลขฐานสิบหก:

- จำนวนจากฐานแปดเป็นไบนารีจะถูกแปลง

1 8 = 1

6 8 = 110

4 8 = 100

6 8 = 110

- ดังนั้น 1646 8 = 1110100110

- ในการแปลงจากเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบหกพวกเขาจะได้รับคำสั่งก่อนเป็นกลุ่ม 4 บิตเริ่มจากขวาไปซ้าย:

11 1010 0110

- กลุ่มแรกเสร็จสมบูรณ์ด้วยเลขศูนย์เพื่อให้สามารถมี 4 บิต:

0011 1010 0110

- การแปลงระบบเลขฐานสองเป็นเลขฐานสิบหกเสร็จแล้ว ความเท่าเทียมกันจะถูกแทนที่ด้วยวิธีการของตาราง:

0011 = 3

1010 = A

0110 = 6

ดังนั้นเลขฐานแปด 1646 จึงเท่ากับ 3A6 ในระบบเลขฐานสิบหก