ทฤษฎีบทของโบลซาโน: คำอธิบายแอพพลิเคชั่นและแบบฝึกหัดที่แก้ไขแล้ว

ทฤษฎีบทของโบลซาโน ระบุว่าหากฟังก์ชั่นนั้นต่อเนื่องทุกจุดของช่วงเวลาปิด [a, b] และเป็นที่น่าพอใจว่าภาพของ "a" และ "b" (ภายใต้ฟังก์ชั่น) มีเครื่องหมายตรงกันข้าม อย่างน้อยหนึ่งจุด« c »ในช่วงเวลาเปิด (a, b) ดังนั้นฟังก์ชันที่ประเมินใน« c »จะเท่ากับ 0

ทฤษฎีนี้ได้รับการประกาศโดยนักปรัชญานักบวชและนักคณิตศาสตร์เบอร์นาร์ดโบลซาโนในปี ค.ศ. 1850 นักวิทยาศาสตร์นี้เกิดในสาธารณรัฐเช็กในปัจจุบันเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์คนแรกในประวัติศาสตร์ที่ได้ทำการสาธิตคุณสมบัติของฟังก์ชันต่อเนื่อง

คำอธิบาย

ทฤษฎีบทของโบลซาโนเป็นที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทค่ากลางซึ่งช่วยในการกำหนดค่าเฉพาะโดยเฉพาะอย่างยิ่งศูนย์ของฟังก์ชั่นที่แท้จริงของตัวแปรจริง

ในฟังก์ชั่นที่กำหนด f (x) ทำต่อ - นั่นคือ f (a) และ f (b) เชื่อมต่อกันด้วยเส้นโค้ง - โดยที่ f (a) อยู่ใต้แกน x (เป็นลบ) และ f (b) คือ เหนือแกน x (เป็นบวก) หรือกลับกันแบบกราฟิกจะมีจุดตัดบนแกน x ที่จะแสดงค่ากลาง« c »ซึ่งจะอยู่ระหว่าง« a »และ« b »และค่าของ f (c) จะเท่ากับ 0

โดยการวิเคราะห์เชิงทฤษฎีของโบลซาโนเราสามารถรู้ได้ว่าทุกฟังก์ชั่น f ต่อเนื่องที่กำหนดไว้ในช่วง [a, b] โดยที่ f (a) * f (b) น้อยกว่า 0 จะมีรากอย่างน้อยหนึ่ง« c »ของฟังก์ชันนั้นภายในช่วงเวลา (a, b)

ทฤษฎีบทนี้ไม่ได้กำหนดจำนวนของจุดที่มีอยู่ในช่วงเวลาที่เปิดเพียงระบุว่ามีอย่างน้อย 1 จุด

แสดง

เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทของโบลซาโน่มันถูกสันนิษฐานว่าไม่มีการสูญเสียความสามารถทั่วไปที่ f (a) 0; ด้วยวิธีดังกล่าวอาจมีค่ามากมายระหว่าง« a »และ« b »ซึ่ง f (x) = 0 แต่มีเพียงค่าเดียวที่ต้องแสดงให้เห็นว่ามีอยู่

เริ่มต้นด้วยการประเมิน f ที่จุดกึ่งกลาง (a + b) / 2 ถ้า f ((a + b) / 2) = 0 การทดสอบจะสิ้นสุดที่นี่ มิฉะนั้น f ((a + b) / 2) จะเป็นค่าบวกหรือลบ

เลือกหนึ่งในครึ่งของช่วงเวลา [a, b] ซึ่งสัญญาณของฟังก์ชันที่ประเมินที่ปลายจะแตกต่างกัน ช่วงเวลาใหม่นี้จะเป็น [a1, b1]

ทีนี้ถ้า f ประเมินที่จุดกึ่งกลางของ [a1, b1] ไม่ใช่ศูนย์การดำเนินการเช่นเดียวกับก่อนหน้านี้จะถูกดำเนินการ นั่นคือครึ่งหนึ่งของช่วงเวลานี้ที่ตรงกับเงื่อนไขของสัญญาณถูกเลือก ให้ช่วงเวลาใหม่นี้เป็น [a2, b2]

หากกระบวนการนี้ยังคงดำเนินต่อไปจะมีการสืบทอดสองครั้งคือ {an} และ {bn} เช่น:

{an} กำลังเพิ่มขึ้นและ {bn} กำลังลดลง:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b

หากคุณคำนวณความยาวของแต่ละช่วงเวลา [ai, bi] คุณจะต้อง:

b1-a1 = (ba) / 2

b2-a2 = (ba) / 2²

....

bn-an = (ba) / 2 ^ n

ดังนั้นข้อ จำกัด เมื่อ n มีแนวโน้มว่าอนันต์ของ (bn-an) เท่ากับ 0

การใช้ที่ {an} เพิ่มขึ้นและมีขอบเขตและ {bn} ลดลงและมีขอบเขตมีค่า "c" เช่นนั้น:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b

ขีด จำกัด ของคือ "c" และขีด จำกัด ของ {bn} ก็คือ "c" ดังนั้นเมื่อใดก็ตามที่δ> 0 จะมี "n" อยู่เสมอดังนั้นช่วงเวลา [an, bn] จะอยู่ภายในช่วงเวลา (c-δ, c + δ)

ตอนนี้มันจะต้องแสดงให้เห็นว่า f (c) = 0

หาก f (c)> 0 ดังนั้นเมื่อ f ต่อเนื่องกันจะมีε> 0 ซึ่ง f นั้นเป็นค่าบวกตลอดช่วงเวลา (c-ε, c + ε) อย่างไรก็ตามตามที่ระบุไว้ข้างต้นมีค่า "n" เช่นที่การเปลี่ยนแปลง f ลงชื่อเข้าใช้ [an, bn] และนอกจากนี้ [an, bn] มีอยู่ภายใน (c-ε, c + ε), ซึ่งเป็นความขัดแย้ง

ถ้า f (c) 0 เช่นนั้น f จะเป็นค่าลบตลอดช่วงเวลา (c-ε, c + ε); แต่มีค่าเป็น "n" เช่นนี้ซึ่ง f เปลี่ยนเครื่องหมายใน [an, bn] ปรากฎว่า [an, bn] มีอยู่ภายใน (c-ε, c + ε) ซึ่งเป็นความขัดแย้ง

ดังนั้น f (c) = 0 และนี่คือสิ่งที่เราต้องการแสดงให้เห็น

มีไว้เพื่ออะไร?

จากการตีความเชิงกราฟิกทฤษฎีบทของโบลซาโนถูกใช้เพื่อค้นหารากหรือศูนย์ในฟังก์ชันต่อเนื่องผ่านการแบ่งครึ่ง (ประมาณ) ซึ่งเป็นวิธีการค้นหาแบบเพิ่มที่แบ่งช่วงเวลาเป็น 2 เสมอ

จากนั้นใช้ช่วงเวลา [a, c] หรือ [c, b] เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายและทำซ้ำกระบวนการจนกว่าช่วงเวลาจะเล็กลงและเล็กลงเพื่อให้คุณสามารถเข้าใกล้ค่าที่คุณต้องการ นั่นคือค่าที่ฟังก์ชั่นสร้าง 0

โดยสรุปเพื่อนำทฤษฎีบทของโบลซาโนมาใช้และหารากให้คั่นค่าศูนย์ของฟังก์ชันหรือให้คำตอบกับสมการโดยทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

- ตรวจสอบว่า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลา [a, b]

- หากไม่ได้กำหนดช่วงเวลาต้องพบหนึ่งที่ฟังก์ชันนั้นต่อเนื่อง

- ตรวจสอบว่าสุดขั้วของช่วงเวลาให้สัญญาณตรงข้ามเมื่อทำการประเมินใน f

- หากไม่ได้รับสัญญาณตรงข้ามช่วงเวลาควรแบ่งออกเป็นสองช่วงเวลาย่อยโดยใช้จุดกึ่งกลาง

- ประเมินฟังก์ชั่นที่จุดกึ่งกลางและตรวจสอบว่าพบสมมติฐานของโบลซาโนโดยที่ f (a) * f (b) <0

- ขึ้นอยู่กับเครื่องหมาย (บวกหรือลบ) ของค่าที่พบกระบวนการจะทำซ้ำกับช่วงย่อยใหม่จนกว่าสมมติฐานดังกล่าวจะสำเร็จ

การออกกำลังกายที่มีมติ

แบบฝึกหัดที่ 1

พิจารณาว่าฟังก์ชั่น f (x) = x2 - 2 มีวิธีแก้ปัญหาจริงอย่างน้อยหนึ่งรายการในช่วงเวลา [1, 2]

ทางออก

เรามีฟังก์ชั่น f (x) = x2 - 2 เนื่องจากมันเป็นพหุนามก็หมายความว่ามันจะต่อเนื่องในทุกช่วงเวลา

คุณจะถูกขอให้ตรวจสอบว่าคุณมีทางออกที่แท้จริงในช่วงเวลา [1, 2] หรือไม่ดังนั้นตอนนี้คุณเพียงแค่ต้องแทนที่สุดขั้วของช่วงเวลาในฟังก์ชั่นเพื่อให้รู้ว่าสัญลักษณ์เหล่านี้และรู้ว่าพวกเขาตรง

f (x) = x2 - 2

f (1) = 12 - 2 = -1 (ลบ)

f (2) = 22 - 2 = 2 (บวก)

ดังนั้นเครื่องหมายของ f (1) ≠ sign f (2)

สิ่งนี้ทำให้มั่นใจได้ว่ามี "c" อย่างน้อยหนึ่งจุดที่เป็นของช่วงเวลา [1, 2] โดยที่ f (c) = 0

ในกรณีนี้ค่าของ "c" สามารถคำนวณได้ง่ายดังนี้:

x2 - 2 = 0

x = ±√2

ดังนั้น√2≈ 1.4 เป็นของช่วง [1, 2] และเป็นไปตามที่ f (√2) = 0

แบบฝึกหัดที่ 2

แสดงว่าสมการ x5 + x + 1 = 0 มีทางออกจริงอย่างน้อยหนึ่งตัว

ทางออก

สิ่งแรกที่ทราบว่า f (x) = x5 + x + 1 เป็นฟังก์ชันพหุนามซึ่งหมายความว่ามันจะต่อเนื่องในจำนวนจริงทั้งหมด

ในกรณีนี้จะไม่มีการกำหนดช่วงเวลาดังนั้นควรเลือกค่าโดยสังหรณ์ใจโดยเฉพาะอย่างยิ่งใกล้กับ 0 เพื่อประเมินฟังก์ชันและค้นหาการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมาย:

หากคุณใช้ช่วงเวลา [0, 1] คุณจะต้อง:

f (x) = x5 + x + 1

f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0

f (1) = 15 + 1 + 1 = 3> 0

เนื่องจากไม่มีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายกระบวนการจะถูกทำซ้ำด้วยช่วงเวลาอื่น

หากคุณใช้ช่วงเวลา [-1, 0] คุณจะต้อง:

f (x) = x5 + x + 1

f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0

f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0

ในช่วงเวลานี้มีการเปลี่ยนแปลงของสัญญาณ: สัญญาณของ f (-1) ≠สัญญาณของ f (0) ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชั่น f (x) = x5 + x + 1 มีรากที่แท้จริงอย่างน้อยหนึ่ง« c »ใน ช่วงเวลา [-1, 0] เช่นนั้น f (c) = 0 ในคำอื่น ๆ มันเป็นความจริงที่ x5 + x + 1 = 0 มีทางออกที่แท้จริงในช่วงเวลา [-1, 0]