การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง: ลักษณะและแบบฝึกหัด

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง เป็นฟังก์ชันที่กำหนดให้แต่ละองค์ประกอบของ X (S) = {x1, x2, ..., xi, ... }, โดยที่ X คือตัวแปรสุ่มแบบแยกที่กำหนดและ S คือพื้นที่ตัวอย่างความน่าจะเป็นที่ เหตุการณ์ดังกล่าวเกิดขึ้น ฟังก์ชัน f ของ X (S) นี้ถูกนิยามเป็น f (xi) = P (X = xi) บางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นจำนวนมากนี้มักแสดงเป็นตาราง เนื่องจาก X เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X (S) จึงมีจำนวน จำกัด ของเหตุการณ์หรืออินฟินิตี้นับได้ ในบรรดาการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องที่พบบ่อยที่สุดที่เรามีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอ, การแจกแจงทวินามและการแจกแจงปัวซง

คุณสมบัติ

ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นต้องเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

ยิ่งกว่านั้นถ้า X ใช้ค่าจำนวน จำกัด เท่านั้น (ตัวอย่างเช่น x1, x2, ..., xn) ดังนั้น p (xi) = 0 ถ้า i> n ดังนั้นดังนั้นชุดเงื่อนไขอนันต์ b กลายเป็น อนุกรม จำกัด

ฟังก์ชั่นนี้ยังเติมเต็มคุณสมบัติต่อไปนี้:

ให้ B เป็นเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรสุ่ม X ซึ่งหมายความว่า B มีอยู่ใน X (S) โดยเฉพาะสมมติว่า B = {xi1, xi2, ... } ดังนั้น:

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละรายการที่เชื่อมโยงกับ B

จากนี้เราสามารถสรุปได้ว่าถ้า <b, เหตุการณ์ (X ≤ a) และ (a <X ≤ b) นั้นไม่เกิดร่วมกันและนอกจากนี้สหภาพของพวกเขาคือเหตุการณ์ (X ≤ b) ดังนั้นเราจึงมี:

ชนิด

การกระจายสม่ำเสมอเหนือจุด n

มันบอกว่าตัวแปรสุ่ม X ตามการกระจายตัวที่โดดเด่นด้วยการเป็นเครื่องแบบในจุดที่ n ถ้าแต่ละค่าถูกกำหนดความน่าจะเป็นเดียวกัน ฟังก์ชันความน่าจะเป็นคือ:

สมมติว่าเรามีการทดลองที่มีสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มันอาจเป็นการโยนเหรียญที่ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คือใบหน้าหรือตราประทับหรือการเลือกจำนวนเต็มซึ่งผลลัพธ์อาจเป็นเลขคู่หรือคี่ การทดสอบประเภทนี้เรียกว่าการทดสอบของ Bernoulli

โดยทั่วไปผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองอย่างเรียกว่าความสำเร็จและความล้มเหลวโดยที่ p คือความน่าจะเป็นของความสำเร็จและ 1-p ของความล้มเหลว เราสามารถกำหนดความน่าจะเป็นของความสำเร็จ x ในการทดสอบ n Bernoulli ที่เป็นอิสระจากกันโดยมีการแจกแจงต่อไปนี้

การกระจายแบบทวินาม

มันคือฟังก์ชั่นที่แสดงถึงความน่าจะเป็นที่จะได้รับความสำเร็จ x ในการทดสอบ n Bernoulli อิสระซึ่งความน่าจะเป็นของความสำเร็จคือ p ฟังก์ชันความน่าจะเป็นคือ:

กราฟต่อไปนี้แสดงถึงฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นสำหรับค่าต่างๆของพารามิเตอร์ของการแจกแจงทวินาม

การกระจายต่อไปนี้เป็นหนี้ชื่อนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Simeon Poisson (1781-1840) ที่ได้รับมันเป็นข้อ จำกัด ของการกระจายทวินาม

การกระจายปัวซอง

มันบอกว่าตัวแปรสุ่ม X มีการแจกแจงปัวซงของพารามิเตอร์λเมื่อมันสามารถใช้ค่าจำนวนเต็มบวก 0, 1, 2, 3, ... ด้วยความน่าจะเป็นดังต่อไปนี้:

ในนิพจน์นี้λคือจำนวนเฉลี่ยที่สอดคล้องกับเหตุการณ์ในแต่ละหน่วยเวลาและ x คือจำนวนครั้งที่เหตุการณ์เกิดขึ้น

ฟังก์ชันความน่าจะเป็นคือ:

จากนั้นกราฟที่แสดงถึงฟังก์ชันความน่าจะเป็นมวลสำหรับค่าที่แตกต่างกันของพารามิเตอร์ของการแจกแจงปัวซง

โปรดทราบว่าตราบใดที่จำนวนความสำเร็จอยู่ในระดับต่ำและการทดสอบจำนวน n ที่ดำเนินการในการแจกแจงทวินามนั้นสูงเราสามารถประมาณค่าการแจกแจงเหล่านี้ได้เสมอเนื่องจากการแจกแจงปัวซองเป็นขีด จำกัด ของการแจกแจงแบบทวินาม

ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างการแจกแจงสองอย่างนี้คือในขณะที่ทวินามนั้นขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์สองตัวคือ n และ p-the Poisson นั้นขึ้นอยู่กับλซึ่งบางครั้งเรียกว่าความเข้มของการแจกแจง

จนถึงตอนนี้เราได้พูดถึงการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับกรณีที่การทดลองที่แตกต่างกันเป็นอิสระจากกัน กล่าวคือเมื่อผลลัพธ์ของผลลัพธ์หนึ่งไม่ได้รับผลกระทบจากผลลัพธ์อื่น

เมื่อกรณีของการทดลองที่ไม่เป็นอิสระเกิดขึ้นการแจกแจงแบบไฮเพอร์เมตริกซ์นั้นมีประโยชน์มาก

การแจกแจงไฮเพอโรเมตริก

ให้ N เป็นจำนวนรวมของวัตถุของเซต จำกัด ซึ่งเราสามารถระบุ ak ของสิ่งเหล่านี้ได้ในบางวิธีดังนั้นการสร้างเซตย่อย K ซึ่งส่วนประกอบประกอบเกิดจากองค์ประกอบ Nk ที่เหลืออยู่

ถ้าเราสุ่มเลือกวัตถุ n ตัวแปรสุ่ม X ที่แสดงถึงจำนวนของวัตถุที่เป็นของ K ในการเลือกตั้งนั้นมีการแจกแจงไฮเพอร์เมตริกซ์ของพารามิเตอร์ N, n และ k ฟังก์ชันความน่าจะเป็นคือ:

กราฟต่อไปนี้แสดงถึงฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นสำหรับค่าต่างๆของพารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบไฮเพอร์เมตริกซ์

การออกกำลังกายที่มีมติ

การออกกำลังกายครั้งแรก

สมมติว่าความน่าจะเป็นที่หลอดวิทยุ (ใช้กับอุปกรณ์บางประเภท) ทำงานได้นานกว่า 500 ชั่วโมงคือ 0.2 หากมีการทดสอบ 20 หลอดความน่าจะเป็นที่ k ของสิ่งเหล่านี้จะทำงานได้นานกว่า 500 ชั่วโมงคือ k = 0, 1.2, ..., 20 หรือไม่

ทางออก

หาก X คือจำนวนหลอดที่ใช้งานได้มากกว่า 500 ชั่วโมงเราจะสมมติว่า X มีการแจกแจงแบบทวินาม แล้วก็

และอื่น ๆ :

สำหรับk≥11ความน่าจะเป็นน้อยกว่า 0.001

ดังนั้นเราสามารถดูว่าความน่าจะเป็นที่ k เหล่านี้ทำงานได้นานกว่า 500 ชั่วโมงขึ้นไปได้อย่างไรจนกว่าจะถึงค่าสูงสุด (ด้วย k = 4) แล้วเริ่มลดลง

การออกกำลังกายครั้งที่สอง

เหรียญถูกโยน 6 ครั้ง เมื่อผลลัพธ์มีราคาแพงเราจะบอกว่าเป็นความสำเร็จ ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของสองใบหน้าคืออะไร

ทางออก

สำหรับกรณีนี้เรามี n = 6 และทั้งความน่าจะเป็นของความสำเร็จและความล้มเหลวคือ p = q = 1/2

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้รับสองใบหน้า (เช่น k = 2) เป็นของ

ออกกำลังกายที่สาม

ความน่าจะเป็นในการค้นหาอย่างน้อยสี่ใบหน้าคืออะไร

ทางออก

สำหรับกรณีนี้เรามี k = 4, 5 หรือ 6

ออกกำลังกายที่สาม

สมมติว่า 2% ของบทความที่ผลิตในโรงงานนั้นมีข้อบกพร่อง ค้นหาความน่าจะเป็น P ที่มีรายการที่มีข้อบกพร่องสามตัวในตัวอย่าง 100 รายการ

ทางออก

สำหรับกรณีนี้เราสามารถใช้การแจกแจงทวินามสำหรับ n = 100 และ p = 0.02 โดยรับผลลัพธ์:

อย่างไรก็ตามเนื่องจาก p มีขนาดเล็กเราจึงใช้การประมาณปัวซองด้วยλ = np = 2 จึง