ทฤษฎีบทของเบย์: คำอธิบายแอปพลิเคชันแบบฝึกหัด

ทฤษฎีบทของเบย์ คือกระบวนการที่ทำให้เราสามารถแสดงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์สุ่ม A ที่กำหนด B ในแง่ของการแจกแจงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B ที่กำหนด A และการแจกแจงความน่าจะเป็นเพียง A

ทฤษฎีบทนี้มีประโยชน์มากเนื่องจากเราสามารถเชื่อมโยงความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์เกิดขึ้นโดยรู้ว่า B เกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็นที่ตรงกันข้ามเกิดขึ้นนั่นคือ B เกิดขึ้นเนื่องจาก A

ทฤษฎีบทของเบย์เป็นข้อเสนอที่เป็นสีเงินโดยนายโทมัสเบย์ซึ่งเป็นนักศาสนศาสตร์ชาวอังกฤษในศตวรรษที่สิบแปดซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ด้วยเช่นกัน เขาเป็นนักเขียนหลายงานในเทววิทยา แต่เป็นที่รู้จักกันในปัจจุบันสำหรับบทความทางคณิตศาสตร์สองในหมู่ที่ทฤษฎีบทดังกล่าว Bayes ทฤษฎีที่โดดเด่นเป็นผลหลัก

เบส์จัดการกับทฤษฎีบทนี้ในบทความเรื่อง "การเขียนเรียงความเพื่อแก้ไขปัญหาในหลักคำสอนของโอกาส" ตีพิมพ์ในปี 2306 และงานใหญ่ที่ได้รับการพัฒนาเพื่อแก้ปัญหาในหลักคำสอนของความเป็นไปได้ ศึกษากับการใช้งานในด้านความรู้ต่าง ๆ

คำอธิบาย

ประการแรกเพื่อความเข้าใจเพิ่มเติมของทฤษฎีบทนี้แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นบางอย่างจำเป็นโดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทการคูณสำหรับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขซึ่งระบุว่า

สำหรับ E และ A โดยพลการของตัวอย่างพื้นที่ S

และคำจำกัดความของพาร์ติชั่นซึ่งบอกเราว่าถ้าเรามี A 1, A 2, ..., A n เหตุการณ์ของพื้นที่ตัวอย่าง S เหล่านี้จะสร้างพาร์ติชันของ S หาก A i เป็นเอกสิทธิ์เฉพาะบุคคลและสหภาพของพวกเขาคือ S

หากมีสิ่งนี้ให้ B เป็นอีกเหตุการณ์หนึ่ง จากนั้นเราจะเห็น B เป็น

จุดที่ A i ตัดกันกับ B เป็นเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกัน

และด้วยเหตุนี้

จากนั้นใช้ทฤษฎีบทการคูณ

ในทางกลับกันความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของ Ai ที่ให้ B ถูกกำหนดโดย

การทดแทนอย่างเพียงพอเราต้องทำเพื่อสิ่งใด

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเบย์

ต้องขอบคุณผลลัพธ์นี้กลุ่มการวิจัยและ บริษัท ที่มีความหลากหลายจึงสามารถปรับปรุงระบบที่อยู่บนพื้นฐานความรู้

ตัวอย่างเช่นในการศึกษาโรคทฤษฎีบทของเบย์สามารถช่วยในการมองเห็นความน่าจะเป็นที่โรคจะพบได้ในกลุ่มคนที่มีลักษณะเฉพาะโดยใช้เป็นข้อมูลอัตราทั่วโลกของโรคและความเด่นของลักษณะดังกล่าวใน คนทั้งสุขภาพและป่วย

ในอีกทางหนึ่งในโลกของเทคโนโลยีชั้นสูงนั้นมีอิทธิพลต่อ บริษัท ขนาดใหญ่ที่ได้พัฒนาขึ้นมาด้วยซอฟต์แวร์นี้ "อิงตามความรู้"

เป็นตัวอย่างในชีวิตประจำวันเรามีผู้ช่วย Microsoft Office ทฤษฎีบทของเบย์ช่วยให้ซอฟต์แวร์ประเมินปัญหาที่ผู้ใช้นำเสนอและพิจารณาว่าจะให้คำแนะนำอะไรและสามารถเสนอบริการที่ดีขึ้นตามพฤติกรรมของผู้ใช้

ควรสังเกตว่าสูตรนี้ไม่ได้รับความสนใจจนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้ส่วนใหญ่เป็นผลมาจากความจริงที่ว่าเมื่อผลลัพธ์นี้พัฒนาขึ้นเมื่อ 200 ปีก่อนมีการใช้งานจริงน้อยมาก อย่างไรก็ตามในยุคของเราต้องขอบคุณความก้าวหน้าทางเทคโนโลยีที่ยอดเยี่ยมนักวิทยาศาสตร์ได้บรรลุวิธีที่จะนำผลนี้ไปสู่การปฏิบัติ

แบบฝึกหัดที่มีมติ

แบบฝึกหัดที่ 1

บริษัท เซลลูล่าร์มีเครื่องสองเครื่อง A และ B 54% ของโทรศัพท์มือถือที่ผลิตนั้นผลิตโดยเครื่อง A และที่เหลือเป็นเครื่อง B โทรศัพท์มือถือบางรุ่นที่ผลิตไม่ได้อยู่ในสภาพดี

สัดส่วนของโทรศัพท์มือถือที่ชำรุดที่ผลิตโดย A คือ 0.2 และโดย B คือ 0.5 ความน่าจะเป็นที่โทรศัพท์มือถือของโรงงานดังกล่าวเสียหรือไม่ ความน่าจะเป็นที่รู้ว่าโทรศัพท์มือถือมีข้อบกพร่องมาจากเครื่อง A?

ทางออก

ที่นี่คุณมีการทดสอบที่ทำในสองส่วน ในส่วนแรกเหตุการณ์เกิดขึ้น:

A: โทรศัพท์มือถือทำโดยเครื่อง A.

B: โทรศัพท์มือถือทำโดยเครื่อง B

เนื่องจากเครื่อง A ผลิตโทรศัพท์มือถือ 54% และส่วนที่เหลือผลิตโดยเครื่อง B เครื่อง B จึงผลิตโทรศัพท์ 46% ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ ได้แก่ :

P (A) = 0.54

P (B) = 0.46

กิจกรรมในส่วนที่สองของการทดสอบคือ:

D: โทรศัพท์มือถือชำรุด

E: โทรศัพท์มือถือไม่บกพร่อง

ตามที่ได้กล่าวไว้ในแถลงการณ์ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้ขึ้นอยู่กับผลที่ได้รับในส่วนแรก:

P (D | A) = 0.2

P (D | B) = 0.5

การใช้ค่าเหล่านี้คุณสามารถกำหนดความน่าจะเป็นของการเติมเต็มของเหตุการณ์เหล่านี้ได้นั่นคือ:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0.2

= 0.8

และ

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0.5

= 0.5

ตอนนี้เหตุการณ์ D สามารถเขียนได้ดังนี้:

การใช้ทฤษฎีบทการคูณสำหรับความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขผลลัพธ์ก็คือ:

คำถามแรกที่ตอบถูก

ตอนนี้เราเพียงแค่ต้องคำนวณ P (A | D) ซึ่งทฤษฎีบทของเบย์ใช้:

ต้องขอบคุณทฤษฎีบทของเบย์จึงอาจกล่าวได้ว่าความน่าจะเป็นที่โทรศัพท์มือถือผลิตโดยเครื่อง A รู้ว่าโทรศัพท์มือถือชำรุดคือ 0.319

แบบฝึกหัดที่ 2

สามกล่องประกอบด้วยลูกบอลสีขาวและสีดำ องค์ประกอบของแต่ละรายการมีดังนี้: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}

หนึ่งในกล่องถูกเลือกแบบสุ่มและสุ่มบอลถูกดึงออกมาจากกล่องซึ่งกลายเป็นสีขาว มีโอกาสเลือกกล่องใดมากที่สุด

ทางออก

โดยใช้ U1, U2 และ U3 เราจะแสดงกล่องที่เลือก

เหตุการณ์เหล่านี้ประกอบด้วยพาร์ติชันของ S และตรวจสอบว่า P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 เนื่องจากตัวเลือกของกล่องเป็นแบบสุ่ม

หาก B = {ลูกบอลที่ถูกแยกเป็นสีขาว} เราจะมี P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4

สิ่งที่เราต้องการได้รับคือความน่าจะเป็นที่ลูกบอลถูกนำออกจากกล่องอุ้ยรู้ว่าลูกบอลเป็นสีขาวนั่นคือ P (Ui | B) และดูว่าค่าใดในสามที่สูงที่สุดที่จะรู้ว่า กล่องได้รับโอกาสมากขึ้นในการสกัดลูกบอลสีขาว

การใช้ทฤษฎีบทของเบย์กับส่วนแรกของกล่อง:

และสำหรับอีกสองคน:

P (U2 | B) = 2/6 และ P (U3 | B) = 1/6

จากนั้นกล่องแรกคือกล่องที่มีโอกาสสูงที่จะถูกเลือกเพื่อดึงคิวลูก