การใช้เหตุผลเชิงพีชคณิต (พร้อมแบบฝึกหัดแก้ไข)

การใช้เหตุผลเชิงพีชคณิต เป็นหลักประกอบด้วยการสื่อสารการโต้แย้งทางคณิตศาสตร์ผ่านภาษาพิเศษซึ่งทำให้เข้มงวดมากขึ้นและทั่วไปการใช้ตัวแปรเกี่ยวกับพีชคณิตและการดำเนินงานที่กำหนดไว้ระหว่างกัน ลักษณะของคณิตศาสตร์คือความเข้มงวดเชิงตรรกะและแนวโน้มเชิงนามธรรมที่ใช้ในการโต้แย้ง

สำหรับสิ่งนี้จำเป็นต้องรู้ "ไวยากรณ์" ที่ถูกต้องที่ควรใช้ในการเขียนนี้ นอกจากนี้การใช้เหตุผลเชิงพีชคณิตหลีกเลี่ยงความคลุมเครือในเหตุผลของการโต้แย้งทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นสิ่งสำคัญในการแสดงผลใด ๆ ในคณิตศาสตร์

ตัวแปรพีชคณิต

ตัวแปรพีชคณิตเป็นเพียงตัวแปร (ตัวอักษรหรือสัญลักษณ์) ที่แสดงถึงวัตถุทางคณิตศาสตร์บางอย่าง

ตัวอย่างเช่นตัวอักษร x, y, z มักจะใช้เพื่อเป็นตัวแทนของตัวเลขที่ตอบสนองสมการที่กำหนด; ตัวอักษร p, qr, เพื่อเป็นตัวแทนของสูตรเชิงประพจน์ (หรือตัวอักษรพิมพ์ใหญ่ตามลำดับเพื่อเป็นตัวแทนของข้อเสนอเฉพาะ); และตัวอักษร A, B, X ฯลฯ เพื่อเป็นตัวแทนชุด

คำว่า "ตัวแปร" เน้นว่าวัตถุที่เป็นปัญหาไม่ได้รับการแก้ไข แต่จะแตกต่างกันไป เช่นนี้คือกรณีของสมการซึ่งตัวแปรที่ใช้ในการกำหนดวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่เป็นที่รู้จักในหลักการ

โดยทั่วไปแล้วตัวแปรพีชคณิตสามารถพิจารณาเป็นตัวอักษรที่แสดงถึงวัตถุบางอย่างไม่ว่าจะได้รับการแก้ไขหรือไม่

เช่นเดียวกับตัวแปรพีชคณิตที่ใช้เพื่อแสดงวัตถุทางคณิตศาสตร์เรายังสามารถพิจารณาสัญลักษณ์เพื่อแสดงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่างเช่นสัญลักษณ์ "+" หมายถึงการดำเนินการ "รวม" ตัวอย่างอื่น ๆ เป็นสัญกรณ์สัญลักษณ์ที่แตกต่างกันของตรรกะเกี่ยวพันในกรณีของข้อเสนอและชุด

การแสดงออกเกี่ยวกับพีชคณิต

การแสดงออกทางพีชคณิตเป็นการรวมกันของตัวแปรพีชคณิตโดยวิธีการดำเนินการที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ ตัวอย่างของสิ่งนี้คือการดำเนินการขั้นพื้นฐานของการบวกการลบการคูณและการหารระหว่างตัวเลขหรือการเชื่อมต่อแบบลอจิคัลในข้อเสนอและชุด

การใช้เหตุผลเชิงพีชคณิตมีหน้าที่รับผิดชอบในการแสดงเหตุผลหรือข้อโต้แย้งทางคณิตศาสตร์โดยใช้วิธีการแสดงออกทางพีชคณิต

รูปแบบของการแสดงออกนี้ช่วยให้การเขียนง่ายขึ้นและย่อเนื่องจากใช้สัญลักษณ์สัญลักษณ์และช่วยให้เราเข้าใจเหตุผลได้ดีขึ้นการนำเสนอในรูปแบบที่ชัดเจนและแม่นยำยิ่งขึ้น

ตัวอย่าง

เรามาดูตัวอย่างที่แสดงวิธีใช้เหตุผลเชิงพีชคณิต บ่อยครั้งมากที่จะใช้ในการแก้ปัญหาตรรกะและเหตุผลในขณะที่เราจะเห็นในไม่ช้า

พิจารณาข้อเสนอทางคณิตศาสตร์ที่รู้จักกันดี "ผลรวมของตัวเลขสองจำนวนคือสับเปลี่ยน" ลองดูว่าเราสามารถแสดงข้อเสนอพีชคณิตนี้ได้อย่างไร: ด้วยตัวเลขสองตัวคือ "a" และ "b" ความหมายของข้อเสนอนี้คือ a + b = b + a

เหตุผลที่ใช้ในการตีความข้อเสนอเริ่มต้นและแสดงในเชิงพีชคณิตเป็นเหตุผลเชิงพีชคณิต

นอกจากนี้เรายังสามารถพูดถึงการแสดงออกที่มีชื่อเสียง "คำสั่งของปัจจัยที่ไม่เปลี่ยนแปลงผลิตภัณฑ์" ซึ่งหมายถึงความจริงที่ว่าผลิตภัณฑ์ของตัวเลขสองจำนวนยังสลับกันและพีชคณิตแสดงเป็น axb = bxa

คุณสมบัติการเชื่อมโยงและการกระจายสำหรับผลรวมและผลิตภัณฑ์สามารถแสดงได้ (และในความเป็นจริงจะแสดง) เกี่ยวกับพีชคณิตซึ่งรวมถึงการลบและการหารด้วย

การใช้เหตุผลประเภทนี้ครอบคลุมภาษาที่กว้างมากและใช้ในบริบทที่หลากหลายและแตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับแต่ละกรณีในบริบทเหล่านี้เราจะต้องรู้จักรูปแบบตีความคำแถลงและวางนัยและทำให้การแสดงออกของพวกเขาเป็นระเบียบในเชิงพีชคณิตอย่างเป็นทางการโดยให้เหตุผลที่ถูกต้องและต่อเนื่อง

การออกกำลังกายที่มีมติ

ต่อไปนี้เป็นปัญหาด้านตรรกะซึ่งเราจะแก้ไขโดยใช้เหตุผลเชิงพีชคณิต:

การออกกำลังกายครั้งแรก

จำนวนที่ลบครึ่งเท่ากับหนึ่งคืออะไร?

ทางออก

เพื่อแก้ปัญหาการออกกำลังกายประเภทนี้มันมีประโยชน์มากในการแสดงค่าที่เราต้องการพิจารณาโดยใช้ตัวแปร ในกรณีนี้เราต้องการค้นหาจำนวนที่ลบครึ่งผลลัพธ์ในจำนวนหนึ่ง แสดงถึง x จำนวนที่ต้องการ

"การลบครึ่ง" ออกจากตัวเลขหมายถึงการหารด้วย 2 ดังนั้นข้างบนสามารถแสดงพีชคณิตเป็น x / 2 = 1 และปัญหาจะลดลงเมื่อแก้สมการซึ่งในกรณีนี้เป็นเส้นตรงและง่ายต่อการแก้ การล้าง x เราได้รับว่าโซลูชันคือ x = 2

โดยสรุป 2 คือจำนวนที่เมื่อลบครึ่งหนึ่งเท่ากับ 1

การออกกำลังกายครั้งที่สอง

เที่ยงคืนจะหายไปกี่นาทีถ้าหายไป 10 นาที 5/3 ของสิ่งที่ขาดไปตอนนี้

ทางออก

แสดงด้วย "z" จำนวนนาทีที่เหลือในเวลาเที่ยงคืน (สามารถใช้ตัวอักษรอื่น ๆ ได้) กล่าวคือเพียงแค่ตอนนี้ "z" นาทีสำหรับเที่ยงคืนหายไป นี่หมายความว่า 10 นาทีหายไป "z + 10" นาทีสำหรับเที่ยงคืนและสิ่งนี้สอดคล้องกับ 5/3 ของสิ่งที่หายไปตอนนี้ นั่นคือ (5/3) z

จากนั้นปัญหาจะลดลงเพื่อแก้สมการ z + 10 = (5/3) z การคูณความเท่าเทียมกันทั้งสองข้างด้วย 3 จะได้สมการ 3z + 30 = 5z

ตอนนี้ด้วยการจัดกลุ่มตัวแปร "z" ที่ด้านหนึ่งของความเท่าเทียมกันเราได้รับ 2z = 15 ซึ่งหมายถึง z = 15

ดังนั้น 15 นาทีถึงเที่ยงคืน

ออกกำลังกายที่สาม

ในเผ่าที่ฝึกการแลกเปลี่ยนมีความเท่าเทียมกันเหล่านี้:

- หอกและสร้อยมีการแลกเปลี่ยนเป็นโล่

- หอกนั้นเทียบเท่ากับมีดและสร้อยคอ

- มีการแลกเปลี่ยนโล่สองใบสำหรับมีดสามหน่วย

มีหอกกี่ตัวที่เทียบเท่าหอก?

ทางออก

ฌอน:

Co = สร้อยคอ

L = หอก

E = เกราะ

Cu = มีด

จากนั้นเรามีความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

Co + L = E

L = Co + Cu

2E = 3Cu

ดังนั้นปัญหาจะลดลงเป็นการแก้ระบบสมการ แม้จะมีสิ่งแปลกปลอมมากกว่าสมการระบบนี้สามารถแก้ไขได้เนื่องจากพวกเขาไม่ได้ขอให้เราแก้ปัญหาเฉพาะ แต่หนึ่งในตัวแปรขึ้นอยู่กับอีก สิ่งที่เราต้องทำคือแสดงออก "Co" ในการทำงานของ "L" โดยเฉพาะ

จากสมการที่สองเราได้ว่า Cu = L - Co. แทนกันในอันที่สามเราได้ E = (3L - 3Co) / 2 ในที่สุดการแทนที่สมการแรกและทำให้มันง่ายขึ้นเราได้รับ 5Co = L; นั่นคือหอกเท่ากับห้าปลอกคอ