การจำแนกประเภทของจำนวนจริง

การ จำแนกประเภทที่แท้จริงของตัวเลขจริง แบ่งออกเป็นจำนวนธรรมชาติจำนวนเต็มจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ ตัวเลขจริงจะแสดงด้วยตัวอักษร R

มีหลายวิธีที่จำนวนจริงที่แตกต่างกันสามารถสร้างหรืออธิบายแตกต่างกันไปจากแบบฟอร์มที่ง่ายกว่าไปยังคนที่ซับซ้อนมากขึ้นทั้งนี้ขึ้นอยู่กับงานทางคณิตศาสตร์ที่คุณต้องการทำ

ตัวเลขจริงจำแนกอย่างไร?

ตัวเลขธรรมชาติ

ตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวเลขที่ใช้ในการนับเช่น "มีสี่ดอกในแก้ว"

คำจำกัดความบางอย่างเริ่มต้นหมายเลขธรรมชาติเป็น 0 ในขณะที่คำจำกัดความอื่น ๆ เริ่มต้นใน 1 หมายเลขธรรมชาติเป็นจำนวนที่ใช้ในการนับ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... ฯลฯ ; พวกมันถูกใช้เป็นเลขลำดับหรือตัวเลขสำคัญ

ตัวเลขธรรมชาติเป็นฐานที่สามารถสร้างชุดตัวเลขอื่น ๆ ได้โดยการขยาย: จำนวนเต็มจำนวนตรรกยะจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน

กลุ่มส่วนขยายเหล่านี้ประกอบขึ้นเป็นตัวเลขตามธรรมชาติที่ระบุไว้ในระบบตัวเลขอื่น ๆ

คุณสมบัติของจำนวนธรรมชาติเช่นการหารและการกระจายของตัวเลขหลักถูกศึกษาในทฤษฎีจำนวน

ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการนับและการสั่งซื้อเช่นการแจกแจงและการแบ่งพาร์ติชันได้ถูกศึกษาในคอมบิเนทีฟ

ในสำนวนทั่วไปเช่นเดียวกับในโรงเรียนประถมหมายเลขธรรมชาติสามารถเรียกได้ว่าเป็นตัวเลขที่นับได้เพื่อไม่ให้มีจำนวนเต็มลบและศูนย์

พวกมันมีคุณสมบัติหลายอย่างเช่น: การเพิ่มการคูณการลบการหาร ฯลฯ

ตัวเลขทั้งหมด

ตัวเลขทั้งหมดเป็นตัวเลขที่สามารถเขียนได้โดยไม่มีส่วนประกอบที่เป็นเศษส่วน ตัวอย่างเช่น: 21, 4, 0, -76 ฯลฯ ในทางกลับกันตัวเลขเช่น 8.58 หรือ√2ไม่ใช่ตัวเลขทั้งหมด

อาจกล่าวได้ว่าตัวเลขทั้งหมดเป็นตัวเลขที่สมบูรณ์พร้อมกับจำนวนลบของตัวเลขธรรมชาติ พวกเขาจะใช้ในการแสดงเงินที่เป็นหนี้ความลึกเมื่อเทียบกับระดับน้ำทะเลหรืออุณหภูมิต่ำกว่าศูนย์เพื่อตั้งชื่อการใช้งานไม่กี่

ชุดจำนวนเต็มประกอบด้วยศูนย์ (0), จำนวนธรรมชาติบวก (1, 2, 3 ... ) และจำนวนเต็มลบ (-1, -2, -3 ... ) โดยทั่วไปนี่คือ termed ด้วย ZZ หรือตัวหนา Z (Z)

Z เป็นเซตย่อยของกลุ่มตัวเลขจำนวนตรรกยะ Q ซึ่งในรูปแบบกลุ่มจำนวนจริง R เช่นเดียวกับจำนวนธรรมชาติ Z เป็นกลุ่มนับไม่ถ้วน

ตัวเลขทั้งหมดเป็นกลุ่มที่เล็กที่สุดและชุดของตัวเลขที่น้อยที่สุด ในทฤษฎีของจำนวนพีชคณิตบางครั้งเรียกว่าจำนวนเต็มจำนวนอตรรกยะเพื่อแยกพวกมันออกจากจำนวนเต็มพีชคณิต

จำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะคือตัวเลขใด ๆ ที่สามารถแสดงเป็นส่วนประกอบหรือเศษของจำนวนเต็มสองตัวต่อหนึ่งตัว / ตัว p ตัวเศษและตัวส่วน q เนื่องจาก q สามารถเท่ากับ 1 แต่ละจำนวนเต็มจึงเป็นจำนวนตรรกยะ

ชุดของจำนวนตรรกยะมักเรียกว่า "การปันส่วน" นั้นแทนด้วยคิว

การขยายเลขฐานสิบของจำนวนตรรกยะจะลงท้ายด้วยจำนวน จำกัด ของตัวเลขเสมอหรือเมื่อลำดับซ้ำของตัวเลข จำกัด ซ้ำกันซ้ำแล้วซ้ำอีก

นอกจากนี้ทศนิยมซ้ำหรือเทอร์มินัลใด ๆ จะแทนจำนวนตรรกยะ งบเหล่านี้เป็นจริงไม่เพียง แต่สำหรับฐาน 10 แต่ยังสำหรับฐานจำนวนเต็มอื่น ๆ

จำนวนจริงที่ไม่สมเหตุสมผลเรียกว่าไร้เหตุผล ตัวเลขที่ไม่ลงตัว ได้แก่ √2, a πและ e เป็นต้น เนื่องจากทั้งชุดของจำนวนที่ให้สัตยาบันสามารถนับได้และกลุ่มของจำนวนจริงไม่สามารถนับได้จึงอาจกล่าวได้ว่าจำนวนจริงทั้งหมดนั้นไม่มีเหตุผล

จำนวนตรรกยะสามารถกำหนดอย่างเป็นทางการว่าเป็นคลาสของการเทียบเท่าของคู่ของจำนวนเต็ม (p, q) เพื่อให้ q ≠ 0 หรือความสัมพันธ์เทียบเท่าที่กำหนดโดย (p1, q1) (p2, q2) เฉพาะเมื่อ p1, q2 = p2q1

จำนวนตรรกยะพร้อมด้วยการบวกและการคูณแบบฟอร์มเขตข้อมูลที่ประกอบขึ้นเป็นจำนวนเต็มและมีอยู่ในสาขาใด ๆ ที่มีจำนวนเต็ม

ตัวเลขที่ไม่มีเหตุผล

จำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนจริงทั้งหมดที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ ตัวเลขที่ไม่ลงตัวไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ จำนวนตรรกยะคือตัวเลขที่ประกอบด้วยเศษส่วนของจำนวนเต็ม

จากการพิสูจน์ของคันทอร์ว่าจำนวนจริงทั้งหมดนับไม่ได้และจำนวนตรรกยะนับได้สรุปได้ว่าเกือบทุกจำนวนจริงไม่มีเหตุผล

เมื่อรัศมีความยาวของทั้งสองส่วนของเส้นตรงเป็นจำนวนอตรรกยะก็อาจกล่าวได้ว่าส่วนของเส้นเหล่านี้ไม่สามารถเทียบกันได้ หมายความว่ามีความยาวไม่เพียงพอเพื่อให้แต่ละคนสามารถ "วัด" ด้วยจำนวนเต็มหลายจำนวนโดยเฉพาะ

ในบรรดาจำนวนอตรรกยะคือรัศมีπของเส้นรอบวงของวงกลมกับเส้นผ่านศูนย์กลาง, จำนวนออยเลอร์ (e), หมายเลขทอง (φ) และรากที่สองของทั้งสอง; ยิ่งกว่านั้นรากที่สองของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดจะไม่ลงตัว ข้อยกเว้นเดียวสำหรับกฎนี้คือสี่เหลี่ยมที่สมบูรณ์แบบ

มันสามารถสังเกตได้ว่าเมื่อตัวเลขที่ไม่ลงตัวจะแสดงตำแหน่งในระบบตัวเลข (เช่นในจำนวนทศนิยม) พวกเขาจะไม่สิ้นสุดหรือทำซ้ำ

ซึ่งหมายความว่าพวกเขาไม่ได้มีลำดับของตัวเลขการทำซ้ำโดยที่บรรทัดของการเป็นตัวแทนจะทำ

ตัวอย่างเช่น: การแทนค่าทศนิยมของตัวเลขπเริ่มต้นด้วย 3.14159265358979 แต่ไม่มีตัวเลขที่แน่นอนที่สามารถเป็นตัวแทนของπได้แน่นอนและไม่สามารถทำซ้ำได้

การพิสูจน์ว่าการขยายทศนิยมของจำนวนตรรกยะต้องสิ้นสุดหรือทำซ้ำนั้นแตกต่างจากการพิสูจน์ว่าการขยายทศนิยมต้องเป็นจำนวนตรรกยะ แม้ว่าขั้นพื้นฐานและค่อนข้างยาวการทดสอบเหล่านี้ใช้งานได้บ้าง

โดยทั่วไปนักคณิตศาสตร์มักไม่ใช้แนวคิดเรื่อง "การสิ้นสุดหรือการทำซ้ำ" เพื่อกำหนดแนวคิดของจำนวนตรรกยะ

หมายเลขที่ไม่มีเหตุผลสามารถรักษาได้ด้วยเศษส่วนที่ไม่ต่อเนื่อง