เทคนิคการนับ: เทคนิคหลักแอปพลิเคชันและตัวอย่าง

เทคนิคการนับ เป็นชุดของความน่าจะเป็นวิธีการนับจำนวนที่เป็นไปได้ของการเตรียมการภายในชุดหรือชุดของวัตถุหลายชุด สิ่งเหล่านี้ถูกใช้เมื่อสร้างบัญชีด้วยตนเองมีความซับซ้อนเนื่องจากวัตถุและ / หรือตัวแปรจำนวนมาก

ตัวอย่างเช่นการแก้ปัญหานี้ง่ายมาก: จินตนาการว่าเจ้านายของคุณขอให้คุณนับผลิตภัณฑ์ล่าสุดที่มาถึงในชั่วโมงสุดท้าย ในกรณีนี้คุณสามารถไปและนับผลิตภัณฑ์ทีละรายการ

อย่างไรก็ตามลองจินตนาการว่าปัญหาคือสิ่งนี้หัวหน้าของคุณขอให้คุณนับจำนวนกลุ่มของผลิตภัณฑ์ประเภทเดียวกัน 5 กลุ่มที่สามารถเกิดขึ้นได้กับผู้ที่มาถึงในชั่วโมงสุดท้าย ในกรณีนี้การคำนวณจะซับซ้อน เทคนิคการนับที่เรียกว่าใช้สำหรับสถานการณ์ประเภทนี้

เทคนิคเหล่านี้มีหลายประการ แต่ที่สำคัญที่สุดแบ่งออกเป็นสองหลักการพื้นฐานซึ่งเป็นการคูณและการเติม; การเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกัน

หลักการคูณ

การใช้งาน

หลักการคูณพร้อมกับสารเติมแต่งเป็นพื้นฐานในการทำความเข้าใจการทำงานของเทคนิคการนับ ในกรณีของการคูณมันประกอบด้วยดังต่อไปนี้:

ลองนึกภาพกิจกรรมที่เกี่ยวข้องกับจำนวนขั้นตอนเฉพาะ (ผลรวมถูกทำเครื่องหมายเป็น "r") โดยที่ขั้นตอนแรกสามารถทำในรูปแบบ N1, ขั้นตอนที่สองของ N2 และขั้นตอน "r" ของแบบฟอร์ม Nr ในกรณีนี้กิจกรรมสามารถทำได้จากจำนวนฟอร์มที่เป็นผลมาจากการดำเนินการนี้: N1 x N2 x .......... x Nr ฟอร์ม

นั่นคือเหตุผลที่หลักการนี้เรียกว่าทวีคูณและหมายความว่าแต่ละขั้นตอนที่จำเป็นในการดำเนินกิจกรรมจะต้องดำเนินการอย่างใดอย่างหนึ่งหลังจากที่อื่น ๆ

ตัวอย่าง

ลองนึกภาพคนที่ต้องการสร้างโรงเรียน ในการทำสิ่งนี้ให้พิจารณาว่าฐานของอาคารนั้นสามารถสร้างได้สองแบบคือซีเมนต์หรือคอนกรีต สำหรับผนังพวกเขาสามารถทำ adobe ปูนซีเมนต์หรืออิฐ

ส่วนหลังคานั้นสามารถสร้างจากปูนซีเมนต์หรือแผ่นสังกะสี ในที่สุดการวาดภาพขั้นสุดท้ายสามารถทำได้ในวิธีเดียวเท่านั้น คำถามที่เกิดขึ้นมีดังต่อไปนี้โรงเรียนต้องสร้างได้กี่วิธี

อันดับแรกเราพิจารณาจำนวนขั้นตอนซึ่งจะเป็นฐานผนังหลังคาและภาพวาด โดยรวม 4 ขั้นตอนดังนั้น r = 4

ต่อไปนี้คือการแสดงรายการ N:

N1 = วิธีสร้างฐาน = 2

N2 = วิธีสร้างกำแพง = 3

N3 = วิธีในการทำหลังคา = 2

N4 = วิธีทำสี = 1

ดังนั้นจำนวนฟอร์มที่เป็นไปได้จะถูกคำนวณโดยสูตรที่อธิบายข้างต้น:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 วิธีในการเข้าโรงเรียน

หลักการเติมแต่ง

การใช้งาน

หลักการนี้ง่ายมากและประกอบด้วยความจริงที่ว่าในกรณีที่มีทางเลือกหลายอย่างเพื่อดำเนินกิจกรรมเดียวกันรูปแบบที่เป็นไปได้จะประกอบด้วยผลรวมของวิธีที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันของการตระหนักถึงทางเลือกทั้งหมด

กล่าวอีกนัยหนึ่งถ้าเราต้องการทำกิจกรรมที่มีสามทางเลือกซึ่งทางเลือกแรกสามารถทำได้ในรูปแบบ M กิจกรรมที่สองในรูปแบบ N และอีกรูปแบบสุดท้ายในรูปแบบ W กิจกรรมสามารถทำ: M + N + ......... + รูปแบบ W

ตัวอย่าง

ลองนึกภาพตอนนี้คนที่ต้องการซื้อไม้เทนนิส สำหรับสิ่งนี้มีสามแบรนด์ให้เลือก: Wilson, Babolat หรือ Head

เมื่อเขาไปที่ร้านเขาเห็นว่าไม้แรลลี่สามารถซื้อได้ด้วยมือจับสองขนาดแตกต่างกัน L2 หรือ L3 ในสี่รุ่นที่แตกต่างกันและสามารถพันกันหรือไม่มีเชือก

ในทางกลับกันแร็กเกตของ Babolat นั้นมีสามมือจับ (L1, L2 และ L3) มีสองรุ่นที่แตกต่างกันและมันก็อาจจะเครียดหรือไม่คับ

ส่วนหัวของไม้เทนนิสนั้นมีเพียงด้ามเดียวคือ L2 ในสองรุ่นที่แตกต่างกันเท่านั้น คำถามคือคน ๆ นี้ต้องซื้อไม้เทนนิสของเขากี่วิธี?

M = จำนวนวิธีในการเลือกไม้แร็กเกตของวิลสัน

N = จำนวนวิธีในการเลือกแร็กเกต Babolat

W = จำนวนวิธีในการเลือก Head Racket

เราสร้างหลักการตัวคูณ:

M = 2 x 4 x 2 = 16 แบบฟอร์ม

N = 3 x 2 x 2 = 12 แบบฟอร์ม

W = 1 x 2 x 1 = 2 รูปแบบ

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 วิธีในการเลือกไม้

หากต้องการทราบว่าเมื่อใดที่ต้องใช้หลักการคูณและสารเติมแต่งคุณเพียงแค่ต้องดูว่ากิจกรรมนั้นมีขั้นตอนมากมายที่จะต้องดำเนินการหรือไม่และหากมีหลายทางเลือกก็คือสารเติมแต่ง

พีชคณิต

การใช้งาน

เพื่อให้เข้าใจว่าการเรียงสับเปลี่ยนคืออะไรมันเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องอธิบายว่าชุดค่าผสมคืออะไรเพื่อสร้างความแตกต่างและรู้ว่าจะใช้เมื่อใด

การรวมกันจะเป็นการจัดเรียงขององค์ประกอบที่เราไม่สนใจในตำแหน่งที่พวกเขาแต่ละคนมีอยู่

ในทางกลับกันการเรียงสับเปลี่ยนจะเป็นการจัดเรียงองค์ประกอบที่เราสนใจในตำแหน่งที่แต่ละองค์ประกอบอยู่

ลองยกตัวอย่างเพื่อทำความเข้าใจความแตกต่าง

ตัวอย่าง

ลองนึกภาพชั้นเรียนกับนักเรียน 35 คนและด้วยสถานการณ์ต่อไปนี้:

ครูต้องการให้นักเรียนสามคนของเขาช่วยให้เขารักษาความสะอาดของชั้นเรียนหรือส่งมอบเอกสารให้กับนักเรียนคนอื่น ๆ เมื่อเขาต้องการ
ครูต้องการแต่งตั้งผู้แทนชั้นเรียน (ประธานผู้ช่วยและนักการเงิน)

การแก้ปัญหาจะเป็นดังต่อไปนี้:

ลองจินตนาการว่าการลงคะแนน Juan, MaríaและLucíaนั้นได้รับเลือกให้ทำความสะอาดชั้นเรียนหรือส่งมอบวัสดุ เห็นได้ชัดว่ากลุ่มอื่น ๆ ของคนสามคนอาจก่อตัวขึ้นในหมู่นักเรียน 35 คนที่เป็นไปได้

เราต้องถามตัวเองดังนี้: มันเป็นเรื่องสำคัญสำหรับคำสั่งซื้อหรือตำแหน่งที่นักเรียนแต่ละคนใช้ในการเลือกพวกเขา?

ถ้าเราคิดเกี่ยวกับมันเราจะเห็นว่ามันไม่สำคัญจริง ๆ เนื่องจากกลุ่มจะดูแลงานทั้งสองอย่างเท่าเทียมกัน ในกรณีนี้เป็นการรวมกันเนื่องจากเราไม่สนใจตำแหน่งขององค์ประกอบ

ตอนนี้ลองนึกภาพว่าจอห์นถูกเลือกให้เป็นประธานาธิบดีมาเรียในฐานะผู้ช่วยและลูเซียเป็นเงิน

ในกรณีนี้คำสั่งจะสำคัญหรือไม่ คำตอบคือใช่เพราะถ้าเราเปลี่ยนองค์ประกอบผลลัพธ์จะเปลี่ยนไป นั่นคือถ้าแทนที่จะให้ฮวนดำรงตำแหน่งประธานาธิบดีเราทำให้เขาเป็นผู้ช่วยและมาเรียดำรงตำแหน่งประธานาธิบดีผลลัพธ์สุดท้ายก็จะเปลี่ยนไป ในกรณีนี้เป็นการเปลี่ยนแปลง

เมื่อเข้าใจถึงความแตกต่างเราจะได้รับสูตรการเปลี่ยนลำดับและการผสม อย่างไรก็ตามก่อนอื่นเราต้องกำหนดคำว่า "n!" (Factorial) เนื่องจากมันจะถูกใช้ในสูตรที่แตกต่างกัน

n! = ผลิตภัณฑ์ตั้งแต่ 1 ถึง n

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ......... ..x n

ใช้กับตัวเลขจริง:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ......... x 10 = 3, 628, 800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ......... x 5 = 120

สูตรของพีชคณิตจะเป็นดังนี้:

nPr = n! / (nr)!

ด้วยมันเราสามารถหาข้อตกลงที่มีความสำคัญและที่ n องค์ประกอบแตกต่างกัน