Homothety: คุณสมบัติประเภทและตัวอย่าง

homothety คือการเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิตในระนาบที่จากจุดคงที่ที่เรียกว่า center (O) ระยะทางจะถูกคูณด้วยปัจจัยทั่วไป ด้วยวิธีนี้แต่ละจุด P สอดคล้องกับจุดอีกจุดหนึ่งของผลิตภัณฑ์ของการเปลี่ยนแปลงและสิ่งเหล่านี้จะสอดคล้องกับจุด O

จากนั้น homothety ก็คือการติดต่อกันระหว่างรูปทรงเรขาคณิตสองอันซึ่งจุดเปลี่ยนที่เรียกว่า homothetic และสิ่งเหล่านี้อยู่ในแนวเดียวกันกับจุดคงที่และกับส่วนที่ขนานกัน

homotecia

homothety คือการเปลี่ยนแปลงที่ไม่มีภาพที่สมกันเพราะจากตัวเลขหนึ่งหรือมากกว่านั้นที่มีขนาดใหญ่กว่าหรือเล็กกว่าที่ร่างเดิมจะได้รับ กล่าวคือ homothety ที่แปลงรูปหลายเหลี่ยมเป็นอีกหนึ่งที่คล้ายกัน

สำหรับความสมบูรณ์ของ homothety พวกเขาจะต้องสอดคล้องกันจากจุดหนึ่งไปอีกจุดหนึ่งไปยังอีกที่ตรงเพื่อที่ว่าจุดคู่ที่สอดคล้องกันจะอยู่ในแนวเดียวกันกับจุดคงที่ที่สามซึ่งเป็นศูนย์กลางของ homothety

ในทำนองเดียวกันคู่ของเส้นที่เข้าร่วมพวกเขาจะต้องขนานกัน ความสัมพันธ์ระหว่างส่วนดังกล่าวเป็นค่าคงที่ที่เรียกว่าอัตราส่วน homothety (k); ในลักษณะที่ homothety สามารถกำหนดเป็น:

เพื่อให้การเปลี่ยนแปลงประเภทนี้เราเริ่มต้นด้วยการเลือกจุดโดยพลการซึ่งจะเป็นศูนย์กลางของ homothety

จากจุดนี้ส่วนของเส้นจะถูกวาดสำหรับแต่ละจุดยอดของรูปที่จะถูกเปลี่ยนรูป สเกลที่การทำซ้ำของร่างใหม่นั้นถูกกำหนดโดยอัตราส่วนของ homothety (k)

สรรพคุณ

หนึ่งในคุณสมบัติหลักของ homothety ก็คือเพื่อเหตุผลของ homothety (k) ตัวเลข homothetic ทั้งหมดมีความคล้ายคลึงกัน คุณสมบัติที่โดดเด่นอื่น ๆ ได้แก่ :

- ศูนย์กลางของ homothety (O) เป็นจุดสองจุดเท่านั้นและนี่จะกลายเป็นตัวมันเอง; นั่นคือมันไม่แตกต่างกัน

- เส้นที่ผ่านจุดกึ่งกลางเปลี่ยนตัวเอง (เป็นสองเท่า) แต่จุดที่เขียนมันไม่ได้เป็นสองเท่า

- เส้นที่ไม่ผ่านจุดศูนย์กลางจะถูกแปลงเป็นเส้นขนาน ด้วยวิธีนี้มุมของ homothety ยังคงเหมือนเดิม

- ภาพของเซ็กเมนต์โดย homothety ของ center O และอัตราส่วน k เป็นส่วนที่ขนานกับมันและมี k คูณความยาว ตัวอย่างเช่นตามที่เห็นในภาพต่อไปนี้ส่วน AB โดย homothetic จะส่งผลให้ส่วนอื่น A'B 'ดังนั้น AB จะขนานกับ A'B' และ k จะเป็น:

- มุมโฮโมเทติกมีความสอดคล้องกัน นั่นคือพวกเขามีมาตรการเดียวกัน ดังนั้นภาพของมุมจึงเป็นมุมที่มีความกว้างเท่ากัน

ในอีกทางหนึ่ง homothety แตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับค่าของอัตราส่วน (k) และอาจเกิดกรณีต่อไปนี้:

- ถ้าค่าคงที่ k = 1 ทุกจุดจะคงที่เพราะพวกมันแปลงตัวเอง ดังนั้นรูป homothetic เกิดขึ้นพร้อมกับต้นฉบับและการเปลี่ยนแปลงจะเรียกว่าฟังก์ชั่นตัวตน

- ถ้า k ≠ 1 จุดคงที่เท่านั้นที่จะเป็นศูนย์กลางของ homothety (O)

- ถ้า k = -1 ความเป็นเนื้อเดียวกันจะกลายเป็นสมมาตรกลาง (C) นั่นคือการหมุนรอบ C จะเกิดขึ้นที่มุม 180o

- หาก k> 1 ขนาดของรูปที่แปลงจะใหญ่กว่าขนาดของต้นฉบับ

- หาก 0 <k <1 ขนาดของรูปที่แปลงจะมีขนาดเล็กกว่าของต้นฉบับ

- หาก -1 <k <0 ขนาดของรูปที่แปลงจะมีขนาดเล็กลงและจะหมุนตามขนาดดั้งเดิม

- หาก k <-1 ขนาดของรูปที่แปลงจะใหญ่ขึ้นและหมุนตามขนาดดั้งเดิม

ชนิด

ความคล้ายคลึงกันสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภทขึ้นอยู่กับมูลค่าของอัตราส่วน (k):

ตรง homothety

มันจะเกิดขึ้นถ้าค่าคงที่ k> 0; นั่นคือจุด homothetic อยู่ในด้านเดียวกันด้วยความเคารพต่อศูนย์:

ปัจจัยที่มีสัดส่วนหรืออัตราส่วนของความคล้ายคลึงกันระหว่างตัวเลขโดยตรงของโฮโธเมติกจะเป็นบวกเสมอ

ย้อนกลับ homothetic

มันจะเกิดขึ้นถ้าค่าคงที่ k <0; กล่าวคือจุดเริ่มต้นและจุด homothetic ของพวกเขาตั้งอยู่ในปลายตรงข้ามที่เกี่ยวกับศูนย์กลางของ homothety แต่สอดคล้องกับมัน ศูนย์กลางจะอยู่ระหว่างร่างทั้งสอง:

ปัจจัยของสัดส่วนหรืออัตราส่วนของความคล้ายคลึงกันระหว่างตัวเลขผกผัน homothetic จะเป็นค่าลบเสมอ

ส่วนประกอบ

เมื่อมีการเคลื่อนไหวหลายครั้งอย่างต่อเนื่องจนกระทั่งได้ตัวเลขที่เท่ากับต้นฉบับการเคลื่อนไหวจะเกิดขึ้น องค์ประกอบของการเคลื่อนไหวหลายอย่างก็คือการเคลื่อนไหว

องค์ประกอบระหว่างสอง homothecias ส่งผลให้ homothecia ใหม่; นั่นคือเรามีผลิตภัณฑ์ homothetic ที่ศูนย์กลางจะสอดคล้องกับศูนย์กลางของการแปลงสองแบบดั้งเดิมและอัตราส่วน (k) เป็นผลคูณของสองเหตุผล

ดังนั้นในการประกอบของสอง homotheties H ₁ (O ₁, k ₁ ) และ H ₂ (O ₂, k ₂ ) การคูณของอัตราส่วนของพวกเขา: k ₁ x k ₂ = 1 จะส่งผลให้อัตราส่วน homothety ของ k ₃ = เท่ากับ k ₁ x k ₂ ศูนย์กลางของ homothety ใหม่นี้ (O ₃ ) จะอยู่ที่บรรทัด O ₁ O ₂

homothety นั้นสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงที่ราบเรียบและกลับไม่ได้; หากมีการใช้โฮโมเทคสองตัวที่มีศูนย์กลางและอัตราส่วนเท่ากัน แต่มีเครื่องหมายต่างกันจะได้รูปที่เป็นต้นฉบับ