ประวัติความเป็นมาของเรขาคณิตวิเคราะห์

ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์ของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ย้อนกลับไปในศตวรรษที่สิบเจ็ดเมื่อปิแอร์เดอแฟร์มาต์และเรเนเดตการตส์กำหนดแนวคิดพื้นฐานของพวกเขา สิ่งประดิษฐ์ของเขาเป็นไปตามความทันสมัยของพีชคณิตและสัญลักษณ์เกี่ยวกับพีชคณิตของFrançoisViète

สาขานี้มีฐานอยู่ในกรีกโบราณโดยเฉพาะในงานของ Apollonius และ Euclid ซึ่งมีอิทธิพลอย่างมากในสาขาคณิตศาสตร์นี้

แนวคิดที่สำคัญที่อยู่เบื้องหลังเรขาคณิตวิเคราะห์คือความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรสองตัวเพื่อให้หนึ่งเป็นหน้าที่ของอีกคนหนึ่งกำหนดเส้นโค้ง

ความคิดนี้ถูกพัฒนาขึ้นเป็นครั้งแรกโดยปิแอร์เดอแฟร์มาต์ ด้วยกรอบการทำงานที่สำคัญนี้ Isaac Newton และ Gottfried Leibniz ก็สามารถพัฒนาการคำนวณได้

ปราชญ์ชาวฝรั่งเศสเดส์การ์ตก็ค้นพบวิธีเชิงพีชคณิตในเรขาคณิตซึ่งเห็นได้ชัดด้วยตัวเขาเอง งานเขียนของเดส์การ์ตส์เกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตปรากฏในหนังสือ อภิปรายที่ โด่งดังของเขา เรื่องวิธีการ

ในหนังสือเล่มนี้ชี้ให้เห็นว่าเข็มทิศและสิ่งปลูกสร้างทางเรขาคณิตของขอบตรงนั้นเกี่ยวข้องกับการบวกการลบการคูณและรากที่สอง

เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์แสดงถึงการรวมกันของขนบธรรมเนียมที่สำคัญสองประการในวิชาคณิตศาสตร์: รูปทรงเรขาคณิตเป็นการศึกษารูปแบบและคณิตศาสตร์และพีชคณิตซึ่งเกี่ยวข้องกับปริมาณหรือตัวเลข ดังนั้นเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์คือการศึกษาด้านเรขาคณิตโดยใช้ระบบพิกัด

ประวัติศาสตร์

ความเป็นมาของเรขาคณิตวิเคราะห์

ความสัมพันธ์ระหว่างเรขาคณิตและพีชคณิตมีการพัฒนาตลอดประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์แม้ว่าเรขาคณิตถึงระดับของวุฒิภาวะก่อนหน้านี้

ตัวอย่างเช่นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Euclid สามารถจัดเรียงผลลัพธ์มากมายในหนังสือ The Elements

แต่มันเป็น Apollonius กรีกโบราณของ Perga ที่บอกล่วงหน้าการพัฒนาของเรขาคณิตวิเคราะห์ใน Conics หนังสือของเขา เขากำหนดรูปกรวยเป็นจุดตัดระหว่างกรวยกับระนาบ

การใช้ผลลัพธ์ของยูคลิดในสามเหลี่ยมคล้ายกันและการทำให้แห้งเป็นวงกลมเขาพบความสัมพันธ์ที่ได้รับจากระยะทางจากจุดใด ๆ "P" ของรูปกรวยถึงสองเส้นตั้งฉากแกนหลักของรูปกรวยและสัมผัสกันที่จุดสุดท้ายของแกน Apollonius ใช้ความสัมพันธ์นี้เพื่ออนุมานคุณสมบัติพื้นฐานของ conics

การพัฒนาระบบพิกัดในคณิตศาสตร์ที่ตามมาเกิดขึ้นหลังจากพีชคณิตได้ครบกำหนดขอบคุณนักคณิตศาสตร์อิสลามและอินเดีย

จนกระทั่งเรขาคณิตยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาถูกนำมาใช้เพื่อพิสูจน์วิธีแก้ปัญหาพีชคณิต แต่ก็ไม่มีอะไรมากที่พีชคณิตจะมีส่วนทำให้เรขาคณิต

สถานการณ์นี้จะเปลี่ยนไปเมื่อมีการใช้สัญลักษณ์ที่สะดวกสำหรับความสัมพันธ์เชิงพีชคณิตและการพัฒนาแนวคิดของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ซึ่งตอนนี้เป็นไปได้

ศตวรรษที่สิบหก

ในตอนท้ายของศตวรรษที่สิบหกFrançoisVièteนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสได้แนะนำสัญกรณ์พีชคณิตอย่างเป็นระบบครั้งแรกโดยใช้ตัวอักษรเพื่อแสดงปริมาณตัวเลขทั้งที่รู้จักและไม่รู้จัก

เขายังพัฒนาวิธีการทั่วไปที่มีประสิทธิภาพสำหรับการทำงานเกี่ยวกับพีชคณิตนิพจน์และการแก้สมการพีชคณิต

ด้วยเหตุนี้นักคณิตศาสตร์จึงไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวเลขทางเรขาคณิตและสัญชาตญาณทางเรขาคณิตเพื่อแก้ปัญหา

แม้แต่นักคณิตศาสตร์บางคนก็เริ่มละทิ้งวิธีคิดทางเรขาคณิตมาตรฐานตามที่ตัวแปรเชิงเส้นของความยาวและสี่เหลี่ยมตรงกับพื้นที่ในขณะที่ลูกบาศก์สอดคล้องกับปริมาณ

สิ่งแรกที่ต้องทำในขั้นตอนนี้คือนักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์René Descartes และนักกฎหมายและนักคณิตศาสตร์ Pierre de Fermat

รากฐานของเรขาคณิตวิเคราะห์

เดส์การ์ตและแฟร์มาต์ก่อตั้งเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์อย่างอิสระในช่วงทศวรรษ 1630 โดยใช้พีชคณิตVièteสำหรับการศึกษาของโลคัส

นักคณิตศาสตร์เหล่านี้ตระหนักว่าพีชคณิตเป็นเครื่องมือที่ทรงพลังยิ่งใหญ่ในเรขาคณิตและคิดค้นสิ่งที่เรียกว่าเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์

ความก้าวหน้าที่พวกเขาทำคือเอาชนะVièteโดยใช้ตัวอักษรเพื่อแสดงระยะทางที่เป็นตัวแปรแทนที่จะได้รับการแก้ไข

Descartes ใช้สมการเพื่อศึกษาเส้นโค้งที่กำหนดทางเรขาคณิตและเน้นความจำเป็นที่จะต้องพิจารณาเส้นโค้งพีชคณิต - กราฟทั่วไปของสมการพหุนามในองศา "x" และ "y"

สำหรับส่วนของเขาแฟร์มาต์ย้ำว่าความสัมพันธ์ระหว่างพิกัด "x" และ "และ" กำหนดเส้นโค้งใด ๆ

ด้วยการใช้ความคิดเหล่านี้เขาได้ปรับโครงสร้างประโยคของ Apollonius เกี่ยวกับเงื่อนไขทางพีชคณิตและเรียกคืนงานบางส่วนของเขาที่สูญหายไป

แฟร์มาต์ระบุว่าสมการกำลังสองใด ๆ ใน "x" และ "y" สามารถวางในรูปแบบมาตรฐานของหนึ่งในส่วนรูปกรวย อย่างไรก็ตามเรื่องนี้แฟร์มาต์ไม่เคยตีพิมพ์งานของเขาในเรื่องนี้

ต้องขอบคุณความก้าวหน้าของสิ่งที่อาร์คิมีดีสสามารถแก้ไขได้ด้วยความยากลำบากมากและสำหรับกรณีที่แยกโดดเดี่ยวแฟร์มาต์และเดส์การตส์สามารถแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็ว

แต่ความคิดของเขาได้รับการยอมรับโดยทั่วไปผ่านความพยายามของนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่สิบเจ็ด

นักคณิตศาสตร์ Frans van Schooten, Florimond de Beaune และ Johan de Witt ช่วยขยายงานของ Decartes และเพิ่มเนื้อหาเพิ่มเติมที่สำคัญ

มีอิทธิพล

ในประเทศอังกฤษ John Wallis นิยมการวิเคราะห์รูปทรงเรขาคณิต เขาใช้สมการเพื่อกำหนดรูปกรวยและหาสมบัติของมัน แม้ว่าเขาจะใช้พิกัดเชิงลบอย่างอิสระมันเป็น Isaac Newton ที่ใช้แกนเฉียงสองแกนเพื่อแบ่งระนาบออกเป็นสี่ส่วน

นิวตันและเยอรมันกอทท์ฟรีดไลบนิซปฏิวัติคณิตศาสตร์เมื่อปลายศตวรรษที่สิบเจ็ดโดยแสดงพลังการคำนวณอย่างอิสระ

นิวตันแสดงให้เห็นถึงความสำคัญของวิธีการวิเคราะห์ในเรขาคณิตและบทบาทของมันในแคลคูลัสเมื่อเขายืนยันว่าลูกบาศก์ใด ๆ (หรือโค้งพีชคณิตพีชคณิตองศาที่สาม) มีสมการมาตรฐานสามหรือสี่แกนสำหรับแกนพิกัดที่เหมาะสม ด้วยความช่วยเหลือของนิวตันเองนักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตจอห์นสเตอร์ลิงทดสอบในปี 1717