สามเหลี่ยมหน้าจั่ว: ลักษณะสูตรและพื้นที่การคำนวณ

สามเหลี่ยมหน้าจั่ว เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีสามด้านซึ่งสองของพวกเขามีการวัดเดียวกันและด้านที่สามเป็นวัดที่แตกต่างกัน ด้านสุดท้ายนี้เรียกว่าฐาน เนื่องจากลักษณะนี้จึงได้รับชื่อนี้ซึ่งในภาษากรีกหมายถึง "ขาเท่ากัน"

สามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ถือว่าง่ายที่สุดในรูปทรงเรขาคณิตเพราะมันถูกสร้างขึ้นโดยสามด้านสามมุมและสามจุดยอด พวกเขาเป็นคนที่มีจำนวนด้านและมุมน้อยที่สุดเมื่อเทียบกับรูปหลายเหลี่ยมอื่น ๆ อย่างไรก็ตามการใช้งานของพวกเขานั้นกว้างขวางมาก

ลักษณะของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

สามเหลี่ยมหน้าจั่วถูกจัดประเภทโดยใช้การวัดด้านข้างของมันเป็นพารามิเตอร์เนื่องจากทั้งสองด้านมีความสอดคล้องกัน (มีความยาวเท่ากัน)

ตามความกว้างของมุมภายในสามเหลี่ยมหน้าจั่วถูกจำแนกเป็น:

สามเหลี่ยมหน้าจั่วสี่เหลี่ยมจัตุรัส : ด้านข้างทั้งสองเท่ากัน มุมหนึ่งของมันตั้งตรง (90o) และมุมอื่น ๆ เท่ากัน (45o)
หน้าจั่วสามเหลี่ยมหน้าจั่ว : สองข้างเท่ากัน มุมหนึ่งของมันคือป้าน (> 90o)
หน้าจั่วสามเหลี่ยมหน้าจั่ว : สองข้างเท่ากัน มุมทั้งหมดเป็นแบบเฉียบพลัน (<90o) ซึ่งทั้งสองมีขนาดเท่ากัน

ส่วนประกอบ

ค่ามัธยฐาน : เป็นเส้นที่ออกจากจุดกึ่งกลางของด้านหนึ่งและถึงจุดสุดยอดตรงข้าม ทั้งสามคนพบกันที่จุดหนึ่งเรียกว่าเซนทรอยด์หรือเซนทรอยด์
เส้นแบ่งครึ่ง : เป็นรังสีที่แบ่งมุมของแต่ละจุดยอดออกเป็นสองมุมที่มีขนาดเท่ากัน นั่นคือเหตุผลว่าทำไมจึงเรียกว่าแกนสมมาตรและสามเหลี่ยมประเภทนี้มีเพียงอันเดียว
เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก : เป็นส่วนตั้งฉากกับด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีต้นกำเนิดอยู่ตรงกลางของนี้ มีสาม mediatices ในรูปสามเหลี่ยมและเห็นพ้องในจุดที่เรียกว่า circumcenter
ความสูง : คือเส้นที่ไปจากจุดยอดไปด้านข้างที่อยู่ตรงข้ามและเส้นนี้ตั้งฉากกับด้านนั้น สามเหลี่ยมทุกรูปมีความสูงสามระดับซึ่งตรงกับจุดที่เรียกว่า orthocenter

สรรพคุณ

สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีการกำหนดหรือระบุเพราะพวกเขามีคุณสมบัติหลายอย่างที่เป็นตัวแทนพวกเขามาจากทฤษฎีบทที่เสนอโดยนักคณิตศาสตร์ที่ดี:

มุมภายใน

ผลรวมของมุมภายในเท่ากับ 180o เสมอ

ผลรวมของด้านข้าง

ผลรวมของการวัดของทั้งสองฝ่ายต้องมากกว่าการวัดของด้านที่สาม, a + b> c

ฝ่ายที่เห็นพ้องต้องกัน

สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีสองด้านที่มีขนาดหรือความยาวเท่ากัน นั่นคือพวกเขาสอดคล้องกันและด้านที่สามแตกต่างจากเหล่านี้

มุมที่สอดคล้องกัน

รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็นที่รู้จักกันในชื่อรูปสามเหลี่ยม iso-angles เช่นกันเพราะพวกมันมีสองมุมที่มีขนาดเท่ากัน (สอดคล้องกัน) ตั้งอยู่ที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมตรงข้ามกับด้านที่มีความยาวเท่ากัน

ด้วยเหตุนี้ทฤษฎีบทที่กำหนดว่า:

ถ้าสามเหลี่ยมมีด้านที่สอดคล้องกันสองด้านมุมตรงข้ามด้านนั้นก็จะสมภาคกันด้วย ดังนั้นถ้าสามเหลี่ยมมีหน้าจั่วมุมของฐานจะสอดคล้องกัน

ตัวอย่างเช่น:

รูปต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงรูปสามเหลี่ยม ABC โดยการติดตามเส้นแบ่งครึ่งจากจุดยอดของมุม B ถึงฐานสามเหลี่ยมแบ่งออกเป็นสองสามเหลี่ยมเท่ากับ BDA และ BDC:

ดังนั้นมุมของจุดยอด B ก็ถูกแบ่งออกเป็นสองมุมเท่ากัน ตอนนี้เส้นแบ่งครึ่งคือด้าน (BD) ทั่วไประหว่างสามเหลี่ยมสองรูปแบบใหม่ในขณะที่ด้าน AB และ BC เป็นด้านที่สอดคล้องกัน นี่คือกรณีของด้านที่สอดคล้องกันมุมด้านข้าง (LAL)

นี่แสดงให้เห็นว่ามุมของจุดยอด A และ C มีขนาดเท่ากันเช่นเดียวกับที่แสดงให้เห็นว่าเนื่องจากสามเหลี่ยม BDA และ BDC มีความสอดคล้องกันด้าน AD และ DC ก็สอดคล้องกัน

ความสูง, ค่ามัธยฐาน, เส้นแบ่งครึ่งและเส้นแบ่งครึ่งเป็นเรื่องบังเอิญ

เส้นที่ลากจากจุดสุดยอดตรงข้ามฐานไปยังจุดกึ่งกลางของฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วนั้นในเวลาเดียวกันความสูงค่ามัธยฐานและเส้นแบ่งครึ่งเช่นเดียวกับเส้นแบ่งครึ่งเทียบกับมุมตรงข้ามของฐาน

ส่วนทั้งหมดเหล่านี้ตรงกับที่แสดง

ตัวอย่างเช่น:

รูปต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่า ABC ABC มีจุดกึ่งกลาง M ที่แบ่งฐานออกเป็นสองส่วนคือ BM และ CM

เมื่อคุณวาดส่วนจากจุด M ไปยังจุดยอดตรงข้ามตามคำนิยามคุณจะได้ค่ามัธยฐาน AM ซึ่งสัมพันธ์กับจุดยอด A และจุด BC ด้านข้าง

เนื่องจากส่วนของ AM แบ่งรูปสามเหลี่ยม ABC ออกเป็นสองสามเหลี่ยมที่เท่ากัน AMB และ AMC นั่นหมายความว่ากรณีของมุม, มุม, ความสอดคล้องกันของด้านจะปรากฎและดังนั้น AM จะเป็นเส้นแบ่งครึ่งของBÂC

นั่นคือเหตุผลที่เส้นแบ่งครึ่งจะเท่ากับค่ามัธยฐานและกลับกันเสมอ

เซ็กเมนต์ AM สร้างมุมที่มีขนาดเท่ากันสำหรับสามเหลี่ยม AMB และ AMC นั่นคือพวกเขาเสริมในลักษณะที่จะวัดแต่ละคน:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180

2 _* Med. (AMC) = 180o

Med. (AMC) = 180o ÷ 2

Med. (AMC) = 90

เป็นที่ทราบกันว่ามุมที่เกิดขึ้นจากส่วนของ AM ที่เกี่ยวกับฐานของรูปสามเหลี่ยมนั้นตรงซึ่งบ่งบอกว่าส่วนนี้ตั้งฉากกับฐานโดยสิ้นเชิง

ดังนั้นมันจึงแสดงถึงความสูงและเส้นแบ่งครึ่งโดยรู้ว่า M คือจุดกึ่งกลาง

ดังนั้นเส้นตรง AM:

มันหมายถึงความสูงของปีก่อนคริสตกาล
มันเป็นสื่อกลาง
มันมีอยู่ใน Mediatrix ของ BC
มันคือเส้นแบ่งครึ่งของมุมยอดÂ

ความสูงสัมพัทธ์

ความสูงที่สัมพันธ์กับด้านเท่ากันนั้นก็มีขนาดเท่ากัน

เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีสองด้านเท่ากันความสูงตามลำดับทั้งสองจึงจะเท่ากัน

Orthocenter, barycenter, incenter และ circumcenter ตรงกัน

เมื่อความสูงมัธยฐาน bisector และ bisector สัมพันธ์กับฐานจะแสดงในเวลาเดียวกันโดยเซ็กเมนต์เดียวกัน orthocenter, incenter centrocentric และ circumcenter จะเป็นจุด collinear นั่นคือพวกเขาจะอยู่ในบรรทัดเดียวกัน:

วิธีการคำนวณเส้นรอบวง?

ปริมณฑลของรูปหลายเหลี่ยมคำนวณโดยผลรวมของด้านข้าง

ในกรณีนี้สามเหลี่ยมหน้าจั่วมีสองด้านด้วยการวัดเดียวกันปริมณฑลของมันจะถูกคำนวณด้วยสูตรต่อไปนี้:

P = 2 _* (ฝั่ง a) + (ด้าน b)

วิธีการคำนวณความสูง?

ความสูงคือเส้นตั้งฉากกับฐานแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันโดยขยายไปถึงจุดยอดตรงกันข้าม

ความสูงหมายถึงขาตรงข้าม (a) ครึ่งฐาน (b / 2) ถึงขาที่อยู่ติดกันและด้าน "a" หมายถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก

ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสคุณสามารถกำหนดค่าของความสูงได้:

a2 + b 2 = c 2

ที่อยู่:

a 2 = height (h)

b 2 = b / 2

c 2 = ด้าน a

แทนที่ค่าเหล่านี้ในทฤษฎีบทพีทาโกรัสและกำจัดความสูงที่เรามี:

h 2 + ( b / 2) 2 = a 2

h 2 + b 2/4 = a 2

h 2 = a 2 - b 2/4

h = √ ( a 2 - b 2/4)

หากทราบมุมที่เกิดจากด้านที่สอดคล้องกันความสูงสามารถคำนวณได้ด้วยสูตรต่อไปนี้:

วิธีการคำนวณพื้นที่?

พื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นจะคำนวณด้วยสูตรเดียวกันเสมอคูณฐานด้วยความสูงและหารด้วยสอง:

มีหลายกรณีที่รู้เพียงว่าการวัดของทั้งสองด้านของสามเหลี่ยมและมุมที่เกิดขึ้นระหว่างพวกมันนั้นเป็นที่รู้จักกัน ในกรณีนี้เพื่อกำหนดพื้นที่จำเป็นต้องใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติ:

วิธีการคำนวณฐานของรูปสามเหลี่ยม?

เนื่องจากสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีสองด้านเท่ากันเพื่อกำหนดค่าของฐานจึงจำเป็นต้องทราบอย่างน้อยการวัดความสูงหรือมุมหนึ่งของมัน

ทราบความสูงที่ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

a2 + b2 = c2

ที่อยู่:

a2 = height (h)

c2 = ด้าน a

b2 = b / 2 ไม่เป็นที่รู้จัก

เราเคลียร์ b2 ของสูตรและเราต้อง:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

เนื่องจากค่านี้สอดคล้องกับครึ่งหนึ่งของฐานจึงต้องคูณสองเพื่อให้ได้การวัดที่สมบูรณ์ของฐานของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว:

b = 2 _* (√ a2 - c2)

ในกรณีที่มีเพียงค่าของด้านเท่ากันและมุมระหว่างพวกเขาเท่านั้นที่เป็นที่รู้จักกันตรีโกณมิติถูกนำมาใช้, การติดตามเส้นจากจุดสุดยอดไปยังฐานที่แบ่งสามเหลี่ยมหน้าจั่วเป็นสองสามเหลี่ยมขวา

ด้วยวิธีนี้ครึ่งหนึ่งของฐานคำนวณด้วย:

เป็นไปได้ว่ามีเพียงค่าความสูงและมุมของจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกับฐานเท่านั้น ในกรณีนั้นโดยตรีโกณมิติสามารถกำหนดฐานได้:

การอบรม

การออกกำลังกายครั้งแรก

หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC โดยรู้ว่าทั้งสองด้านมีขนาด 10 ซม. และด้านที่สามมีขนาด 12 ซม.

ทางออก

เพื่อหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมันจำเป็นต้องคำนวณความสูงโดยใช้สูตรของพื้นที่ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสเนื่องจากค่าของมุมที่เกิดขึ้นระหว่างด้านเท่ากันนั้นไม่เป็นที่รู้จัก

เรามีข้อมูลต่อไปนี้ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว:

ด้านเท่ากัน (a) = 10 ซม.
ฐาน (b) = 12 ซม.

ค่าในสูตรจะถูกแทนที่:

การออกกำลังกายครั้งที่สอง

ความยาวของทั้งสองด้านเท่ากันของสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาด 42 ซม. ซึ่งการรวมกันของด้านเหล่านี้สร้างมุม 130o กำหนดค่าของด้านที่สามพื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นและปริมณฑล

ทางออก

ในกรณีนี้การวัดของด้านข้างและมุมระหว่างพวกเขาเป็นที่รู้จักกัน

หากต้องการทราบค่าของด้านที่ขาดหายไปนั่นคือฐานของสามเหลี่ยมนั้นเราจะวาดเส้นตั้งฉากกับมันโดยแบ่งมุมออกเป็นสองส่วนเท่ากันหนึ่งอันสำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากแต่ละอันที่เกิดขึ้น